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Elliptische DGL Normalform

Autor:Walter Füchte
elliptic - differential - equation; in normalform

Diese Aktivität ist auch eine Seite des geogebra-books geometry of some complex functions Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene. (20.10. 2019) Kapitel: "Spezielle komplexe Funktionen"

Für die Näherungskurven ist eine rechenintensive Tabelle angelegt, welche das Applet ausbremst! In Normalform sind die Brennpunkte der elliptischen Differentialgleichung:
  • .
Im Applet oben sind der Brennpunkt und die Mitte des Gitters beweglich. Warum nennen wir die Nullstellen der DGL Brennpunkte? Die DGL ist eigentlich auch eine "elliptische DGL": Sie hat die Brennpunkte und den doppelt zählenden Brennpunkt . Lösungskurven sind die konfokalen Kegelschnitte (Ellipsen, Hyperbeln) mit den Brennpunkten . Eine Lösung ist . Dies ist aber nicht der einzige Zusammenhang zwischen elliptischen Funktionen und konfokalen Kegelschnitten: Die Geradenbüschel durch die Brennpunkte sind möbiusgeometrisch Kreisbüschel durch und , bzw. durch und . In den Schnittpunkten dieser Geraden sind die Kegelschnitte Winkelhalbierende. Die 4 verschiedenen Brennpunkte im Applet oben lassen sich auf 3 Weisen als Grundpunkte zweier Kreisbüschel deuten. Wählt man 2 dieser Kreisbüschelpaare, so geht durch fast jeden Punkt der Ebene je ein Kreis aus diesen beiden Kreisbüscheln. Die Winkelhalbierenden-Kurven sind Lösungskurven der elliptischen DGL oben für ein geeignetes . Oder geometrisch anders betrachtet: die Näherungskurven im Applet schneiden die Winkelhalbierenden-Kurven unter konstanten Winkel. Die elliptischen Funktionen, welche die Differentialgleichungen des obigen Typs lösen, sind doppelt-periodische Funktionen : sie bilden ein Parallelogramm komplex-differenzierbar auf die Möbiusebene ab, Ausnahme-Punkte sind die Brennpunkte, also die Nullstellen der Ableitung. Für mindestens 2 Parallelen-Richtungen sind die Bildkurven geschlossene Kurven, die sich um die Brennpunkte winden. Ein anschauliches Bild hiervon vermitteln die Bilder auf der Seite Elliptische Funktionen 2. Man beachte auch den Link auf die Seite http://virtualmathmuseum.org/docs/z_elliptic_functions.pdf. Leider sind elliptische Funktionen in geToolbar Imagegebra nicht implementiert, wahrscheinlich ist es garnicht möglich, diese Funktionen in irgendeine Software zu implementieren wie etwa oder . Möbiusgeometrisch hängen diese elliptischen Funktionen von einer einzigen komplexen Invariante ab: der absoluten Invarianten der 4 Brennpunkte. Ist reell, so sind konfokale bizirkulare Quartiken Lösungskurven. Diese sind 2-teilig für , 1-teilig für . Für liegt beides vor: 2-teilige und im 45°-Winkel dazu 1-teilige! Die 4 verschiedenen Brennpunkte liegen harmonisch. Ein ganz besonderer Fall ist : Tetraeder-Fall. Die Brennpunkte sind möbiusgeometrisch die Ecken eines Tetraeders. Durch jeden Punkt der Ebene - von den Brennpunkten abgesehen - gehen 6 bizirkulare Quartiken. Die Schnittwinkel sind Vielfache von 30°. Veranschaulichen läßt sich dies wahrscheinlich am ehesten auf der RIEMANNschen Zahlenkugel! Im Applet oben kann man experimentell versuchen, geschlossene Lösungskurven und die Winkel zwischen ihnen zu ermitteln!
Doppelverhältnis
cross-ratio
 für
absolute Invariante: mit
Zu 2 Punkte-Quatrupeln und mit paarweise verschiedenen bzw. existiert genau dann eine Möbiustransformation, welche welche die Punkte in geeigneter Reihenfolge auf die Punkte abbildet, wenn die absolute Invariante der beiden Quadrupel übereinstimmt.

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