Funciones lineales (2º ESO)

Forfatterelora9, miguelmarroncascudo, María Morales Cruz

Emne:Funktionsgrafer, Lineære funktioner, Rette linjer

Un poco de teoría...

La gran mayoría de las situaciones que hemos estudiado hasta este momento son relaciones funcionales en las que hay dos variables, y una depende de la otra de manera única; esto es, son funciones. Además, hemos visto que las funciones se pueden representar de varias maneras:

como una descripción verbal que describe una situación
como una tabla de valores que nos indica los valores correspondientes de la relación
como una gráfica que nos visualiza la situación
como una expresión algebraica (fórmula) que nos relaciona las dos magnitudes

Ahora...hablemos de una de las funciones más importantes: LA FUNCIÓN LINEAL. Tipos: LA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA Hay un tipo particular de funciones lineales, aquellas en las que la ordenada en el origen es cero, es decir, n = 0. La fórmula general de estas funciones, llamadas de proporcionalidad directa, es f(x) = m·x, y como son funciones lineales, cumplen todas las características que ya estudiamos. Pero por ser un caso especial, su manejo es mucho más sencillo. Veamos por qué. En primer lugar, siempre conoceremos un punto de la función, ya que cuando x = 0, f(x) = m·0 = 0. Así, todas las funciones de proporcionalidad directa pasan por el origen de coordenadas, el punto (0, 0). Entonces, para dibujarlas solo necesitamos un punto más. Por otro lado, si nos dan la gráfica y queremos calcular su pendiente, basta tomar un punto cualquiera (distinto del origen de coordenadas) por el que pase la función, y dividir su ordenada entre su abscisa: m = y / x.

LA FUNCIÓN AFÍN Una función es afín cuando es de la forma f(x) = m·x + n. En ese caso, llamábamos pendiente de la función al valor m, y ordenada en el origen al valor n, y la gráfica correspondiente a la función es una recta. Si nos dan la expresión analítica de la función, es decir, la ecuación f(x) = m·x + n, para dibujarla basta hacer una tabla de valores. Como se trata de una recta, solamente necesitaremos dos puntos, así que solo tenemos que dar dos valores a la variable x.

x	*y*
0	f(0)
1	f(1)

Siempre es recomendable tomar valores de x que nos permitan hallar sus correspondientes valores de y de forma sencilla, por ejemplo, 0, 1, -1... No obstante, podemos hacerlo para cualquier valor de x. Otras veces, puede que en lugar de la expresión nos den la gráfica, y tengamos que encontrar la pendiente y la ordenada en el origen. Para ello, tendremos en cuenta lo siguiente:

La ordenada en el origen es el valor que toma la función cuando la variable independiente es nula, es decir, en x = 0. Por tanto, podemos hallar su valor mirando dónde corta la recta al eje OY.
Para hallar la pendiente, debemos tomar dos puntos, cualesquiera, de la recta, y comparar cómo cambia la variable dependiente, es decir, la y, cuando crece la independiente, la x.

En el siguiente gráfico, puedes mover los deslizadores de la pendiente y de la ordenada en el origen y ver cómo cambia la función.

¡Ahora practiquemos la representación algebraica y gráfica de funciones lineales! Haz click debajo, donde pone «Entrada...» (esquina superior izquierda), y escribe la ecuación de una función lineal (por ejemplo, f(x) = 4 x -2), y verás que aparece dibujada a la derecha. ¡Puedes dibujar todas las que quieras!

¡Ayuda! Vídeo sobre los tres tipos de funciones lineales

¡Ahora veamos cómo poner en práctica estas funciones! Trabajaremos en grupos con metodología de aprendizaje cooperativo, en grupos de 6 alumnos: 1. Resuelve las actividades de manera individual 2. Pon en común las respuestas en parejas y llegad a un resultado común 3. Pon en común los resultados en tu grupo y llegad a un mismo resultado 4. Cada grupo expondrá el proceso y resolución de cada una de las actividades

PREGUNTA 1

¿Cuál de las siguientes funciones es una función de proporcionalidad directa, afín y constante? Justifica tu respuesta y=2-5x y=2x y=2

PREGUNTA 2

Si observamos el precio de la gasolina en un día concreto al llenar el depósito de un coche podemos estudiar la relación entre el número de litros de gasolina y lo que pagamos. El precio que pagamos es función de la cantidad de gasolina que echamos y puede venir dada por ejemplo con la siguiente descripción verbal: “El litro de gasolina se situó en la primera semana de agosto en 1,46 €”. Define qué tipo de función sería, la expresión algebraica y representa su tabla de valores y su gráfica.

PREGUNTA 3

¿La función y=4x-1 pasa por el origen de coordenadas, es decir, pasa por el (0,0)? Justifica tu respuesta.

PREGUNTA 4

Dada la relación entre las magnitudes número de fotocopias y precio expresada en la siguiente tabla: a) Justifica que se trata de una función. b) Calcula la imagen si la variable independiente es 6. c) Determina el valor de la variable independiente cuando la variable dependiente toma el valor 0,35.

PREGUNTA 5

En una papelería 10 lápices cuestan 2.5 €, haz una tabla de valores, dibuja su gráfica y escribe su expresión algebraica. ¿Cuál es la variable dependiente? ¿y la variable independiente?