Jacobiano de las coordenadas cilíndricas
El Jacobiano de un cambio de variables en el espacio mide la variación de primer orden del elemento infinitesimal de volumen bajo el cambio de variables.
El objetivo de esta construcción es mostrar el cambio de un elemento infinitesimal de volumen bajo la acción del cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas.
El elemento infinitesimal de volumen no cambia al variar el ángulo o al variar la altura , solo cambia con la distancia al eje vertical . La expresión del Jacobiano de las coordenadas cilíndricas es:
.
Instrucciones:
Al mover el deslizador de se mueve el punto rojo sobre la zona gris ( es la primera coordenada del punto rojo). El punto rojo también se puede mover libremente variando su segunda coordenada que representa la altura . La distancia el eje vertical, , coincide con la distancia del punto amarillo al eje horizontal que se puede cambiar moviendo el punto sobre la semirrecta.
Al mover cualquiera de estos elementos se mueve el punto rojo sobre el cilindro. El volumen azul entre los cilindros representa el elemento diferencial de volumen para esos valores de , y .
Al mover el punto rojo sobre la zona gris el sólido azul entre los cilindros cambia su posición pero no su volumen, es decir, el elemento diferencial de volumen se mantiene constante aunque se varíe o y no depende de esas variables. Sin embargo, al cambiar (el punto amarillo) el volumen aumenta cuando aumenta, es decir, el elemento diferencial de volumen aumenta con . En consecuencia el Jacobiano de las coordenadas cilíndricas solo depende de .