Ellipse & Hyperbel konfokal
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books conics bicircular-quartics Darboux-cyclides (März 2021)
Leitkreis/Leitgeraden-Konstruktion Konfokale Ellipsen/Hyperbeln besitzen 2 einfache Brennpunkte, zB. f =1 und f' =-1, und einen doppelt-zählenden Brennpunkt: . Man betrachte dazu die Bilder unter Möbiustransformationen, beispielsweise unter Kreisspiegelungen. Die 4 Brennpunkte kann man auf 2 verschiedene Weisen als Grundpunkte zweier Kreisbüschel verwenden: 1.: als die 2 Geradenbüschel durch f bzw. f', und orthogonal dazu die konzentrischen Kreise um die Brennpunkte 2.: als ein elliptisches Kreisbüschel durch f und f' und das Büschel der zur -Achse parallelen Geraden (ein parabolisches Kreisbüschel!); und orthogonal dazu das hyperbolische Kreisbüschel um die Brennpunkte und die Parallelen zur -Achse. In beiden Fällen sind die Ellipsen/Hyperbeln Winkelhalbierende dieser Kreisbüschel. In den Schnittpunkten der Kreise (oder Geraden) aus den zwei Kreisbüscheln sind die Symmetrie-Kreise (Mittel-Kreise) stets doppelt-berührende Kreise des Kegelschnitts. Diese Konstruktion der doppelt-berührenden Kreise gelingt auch, wenn die "Brennkreise" aus den beiden Kreisbüscheln sich nicht schneiden! Das stimmt auch für die Tangenten: ist sowohl als Brennpunkt als auch als Kurvenpunkt zu betrachten. Spiegelt man einen der beiden Brennpunkte, zB. f = 1, an den doppelt-berührenden Kreisen, so liegen die Spiegelpunkte auf dem zugehörigen Leitkreis, bzw. der Leitgeraden. Für den Fall 1 ist dies nichts anderes als die Gärtner-Konstruktion der Ellipsen! Umgekehrt kann man aus der Kenntnis des Leitkreises, der Brennpunkte (und der zugehörigen Symmetrie) die Kegelschnitte als Ortslinie "konstruieren". Bemerkung: die genannten Eigenschaften sind möbiusinvariant! Das Bild konfokaler Kegelschnitte unter Möbiustransformationen läßt sich untersuchen wie oben beschrieben, wobei die Unterscheidung von Kreisen und Geraden wegfällt.Scheitelkreis-Konstruktionen
Die Kreise (Geraden) der orthogonalen Kreisbüschel sind in beiden Fällen orthogonal zur -Achse.
Die zu einem einzelnen Kegelschnitt gehörenden Brennkreise sind auf folgende Weise einander zugeordnet:
Spiegelt man einen Schnittpunkt s des einen Brennkreises am Scheitelkreis bzw. an einer Scheiteltangente,
so erhält man einen Schnittpunkt des zugeordneten anderen Brennkreises mit der -Achse.
Einer der Symmetriekreise (Winkelhalbierenden-Kreis) ist ein doppelt-berührender Kreis des Kegelschnitts.
Diese Zuordnung funktioniert auch, wenn die Brennkreise sich nicht auf dem Kegelschnitt schneiden!
Mit Hilfe dieser Zuordnung kann man die Kegelschnitte als Ortskurven "konstruieren".