Vier Punkte: ihre Lage
 | Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Elliptische Funktionen & Bizirkulare Quartiken & ... (05.02.2023) |
Im Applet oben wurde rechts durch eine Möbiustransformation auf 0, auf und auf abgebildet.
Spezielle Lagen:
I.: Die Kreise durch und durch sind genau dann orthogonal,
wenn das Doppelverhältnis rein imaginär ist.
Im Bild rechts ist dies genau dann der Fall, wenn die Geraden und orthogonal sind,
also genau dann, wenn auf dem THALES-Kreis über liegt!
Die Kreise durch und durch sind dann ebenfalls orthogonal.
Die absolute Invariante läßt keine Besonderheit erkennen.
II.: Die Punkte-Paare und liegen spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen genau dann,
wenn gilt; dies ist genau dann der Fall, wenn gilt;
und dies ist genau dann der Fall, wenn die absolute Invariante reell und nicht positiv ist: und .
Begründung: ist der Satz des THALES, s.u.
Ein Kreis, zu dem die Punkte spiegelbildlich liegen, muss ein Kreis aus dem hyperbolischen
Kreisbüschel um und sein (die Inversion an diesem Kreis vertauscht die beiden Punkte!)
Durch wie durch gehen je genau ein Kreis aus diesem Kreisbüschel.
und können also nur spiegelbildlich zu einem Kreis durch liegen, wenn die beiden Kreise des
hyperbolischen Kreisbüschels identisch sind. Im Applet erhält man rechts .
ist also genau dann der Fall, wenn auf demselben konzentrischen Kreis um 0 liegen.
Die Inversion an diesem Kreis vertauscht 0 und , die Winkelhalbierenden der Geraden und
sind orthogonal zum konzentrischen Kreis, gespiegelt an ihnen werden und vertauscht.
Den Zusammenhang mit der absoluten Invariante erklären wir unten!
III.: 4 Punkte liegen auf einem Kreis genau dann, wenn ihr Doppelverhältnis reell ist;
dies ist genau dann der Fall, wenn die absolute Invariante der 4 Punkte reell und nicht-negativ ist!
Begründung: Nach dem Peripheriewinkelsatz ist das Doppelverhältnis reell genau dann,
wenn die Punkte auf einem Kreis liegen. Diese Eigenschaft ist unabhängig von der Reihenfolge der Punkte.
Für reelles ist reell und nicht negativ!
Unter welcher Voraussetzung ist die absolute Invariante reell?
Die Mege der 6 relative Invarianten , und ist invariant unter
der endlichen Gruppe von involutorischen Möbiustransformationen mit , .
Für jede der 6 relativen Invarianten gilt
2 ganz besondere Lagen:
Sind die 4 Punkte verschieden und ist , so gilt beides: die Punkte sind konzyklisch
und liegen spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen.
Beispiel: die Schnittpunkte der 1. und 2. Winkelhalbierenden mit dem Einheitskreis.
liegt vor für 4 Punkte, deren Doppelverhältnis unabhängig von der Reihenfolge beträgt.
Projiziert man die Punkte stereographisch auf die Einheitskugel, so erhält man auf der Kugel ein regelmäßiges Tetraeder.