4.1 Definición de Transformaciones Ortogonales
Definición de Transformaciones Ortogonales
La experiencia geométrica nos induce a creer que las únicas transformaciones rígidas son las traslaciones, las rotaciones, las reflexiones o alguna combinación de estas tres. Ahora se desea demostrar que esto no es cierto, para ello comenzaremos a estudiar las transformaciones rígidas que no mueven el origen. Estas se llaman transformaciones ortogonales. Definición.- Una transformación rígida que deja el origen fijo -es decir, - se llama transformación ortogonal. Las rotaciones alrededor del origen y las reflexiones respecto a una recta que pasa por el origen, son transformaciones ortogonales. El siguiente teorema muestra que toda transformación rígida puede efectuarse aplicando primero una transformación ortogonal al plano y después una traslación
Teorema.- Si es una transformación rígida, entonces , donde es una traslación y una transformación ortogonal, y esta descomposición de es única. Teorema.- El producto escalar es invariante bajo las transformaciones ortogonales (es decir, si es una transformación ortogonal, entonces ). Corolario.- La ortogonalidad de los vectores es invariante bajo las transformaciones ortogonales. Fuente: Hasser, N. B., La Salle, J., & Sullivan, J. (2009). Análisis matemático Vol. 1. Editorial Trillas.