Convergência uniforme
Uma sequência de funções
,
definidas em um conjunto , converge uniformemente para uma função se para cada tal que
para todo .
No fundo esta definição difere da definição de convergência pontual pelo fato de que para cada valor de , a escolha de não depende do valor do . Na convergência pontual a escolha de pode mudar para cada valor de .
No applet a seguir temos uma afirmação a respeito da convergência uniforme de uma sequência de funções específica que pode ser conferida geometricamente. Você pode alterar a função ... Faça isso!
Quando escolhemos o estamos criando uma espécie de "faixa" em torno da função, a convergência só será uniforme se para um valor razoavelmente alto de , os termos da sequência estiverem completamente dentro da "faixa". Verifique que isto acontece!
Agora que você já observou como se dá a convergência uniforme vamos observar um exemplo em que existe a convergência pontual para todo , mas não existe a convergência uniforme, uma vez que a sequência de funções nunca ficará totalmente dentro da "faixa".
Trata-se do mesmo exemplo que utilizamos para a convergência pontual, a sequência de funções
.
Observe, no applet abaixo, o que acontece se fizermos uma faixa em torno da função limite e aumentarmos .
Dê zoom, se achar necessário, para verificar que a sequência de funções em azul nunca estará completamente dentro da faixa vermelha para um suficientemente pequeno.