2. Primera parte: El encargo
- Que dice el jefe que debes enviar a los operarios a colocar una farola en este triángulo. Y que se preparen, porque habrá que hacerlo en muchas más isletas triangulares. Parece que está de moda.
- Bueh, eso está chupao. Pásame el móvil.
- Espera, no es tan sencillo. Tienen que colocarla de forma que ilumine todo el triángulo.
- ¡Con lo poco que alumbran! No sé, no sé. Les digo que la coloquen y ya veremos si da para tanto.
- No, no me has entendido. El jefe quiere que la pongan de forma que quede a igual distancia de las tres esquinas. Él dice que solo así logrará iluminarlo todo.
- ¿O sea que no te dijo exactamente dónde hay que ponerla?
- No, me dijo que te encargases tú de averiguarlo.
- ¡Uy, eso se parece a los problemas de matemáticas que aparecen en mi libro de 2º de ESO, pero ya sabes lo mala que soy para las mates!
- Pues tengo que resolverlo esta noche, si no mañana quedaré en ridículo ante mi jefe. Y ni siquiera está tu madre, que de estas cosas es la que más sabe.
- Espera, el profe nos enseñó un poco de un programa que por lo visto ayuda un montón a resolver ese tipo de problemas, ven, lo tengo instalado en el ordenador.
- Mira, papá, el programa se llama GeoGebra, ¿ves? Aquí podemos dibujar lo que queramos y podemos moverlo. Por ejemplo, un triángulo, a ver, lo voy a pintar de verde... Y además se pueden pegar imágenes, es lo que más me gusta, mira voy a pegar la imagen de esta farola que encontré en Internet y la coloco sobre este punto naranja.
- Queda bonito, sí. Pero no veo en qué nos puede ayudar.
- Pues es muy fácil, dibujamos los segmentos que van de la farola a los vértices, y comparamos sus medidas hasta que sean iguales. Mira, creo que ya está.
- Pero la isleta donde hay que colocar la farola no tiene esa forma, ni esas medidas. Y es sólo la primera de una serie, cada una diferente, supongo.
- Anda, pues claro. Esto no sirve. Hay que encontrar un método que sirva para cualquier triángulo.
- Oye, cielo, ¿podrías mover la farola de manera que se mantenga siempre a la misma distancia de A y B?
- Lo voy a intentar, espera... voy a hacer que el punto naranja deje rastro de por donde va... así, ya está... Uy, tengo que ajustar constantemente... Bueno, más o menos, iría por ahí... ¡Papá! Parece que sigue una línea recta.
- Sí, una línea recta que se encamina perpendicularmente hacia el punto medio de ese lado... Es lógico, esa perpendicular se comporta como un espejo entre A y B, como la red en una pista de tenis...
- Eso se llama mediatriz, papá.
- ¿Cómo?
- Lo que acabas de decir. “La línea perpendicular a un segmento por su punto medio se llama mediatriz” – recitó, orgullosa.
- A ver, a ver... ¿Y este programa tan listo es capaz de trazar... “mediatrices”?
- Espera... Sí, aquí está, ¿ves? Este botón de aquí.
- Pues traza la mediatriz del lado entre A y B, a ver cómo queda, y de paso vuelve a dejar la farola donde estaba.
Pegué un grito de alegría.
- ¡Ya está, ya está!
- Ya está, ¿el qué?
- Irene, ¡ya está resuelto! Fíjate, si hacemos lo mismo con los otros lados, bueno, basta hacerlo con otro... Si trazamos otra medi... mediatriz, eso, donde se junten ahí habrá que poner la farola.
- ¡Qué bien! Espera, lo voy a hacer.
Ahí estaba, como un mapa del tesoro, solo que era una especie de mapa universal, pues la isla triangular podía tener cualquier forma o medidas.
- A ver, prueba a mover A, o B, o C y lleva la farola al punto de corte... ¡Funciona! Sea cual sea la forma del triángulo ese punto siempre queda a la misma distancia de las esquinas. ¡Es fantástico!
- Mira papá, en el libro aparece un dibujo parecido, solo que con un círculo alrededor y la tercera mediatriz, que corta a las otras dos en el mismo punto.
- ¿A ver? Sí, ¡claro! Ese círculo es la luz de la farola, o sea, la farola es el centro de ese círculo.
- Aquí dice que se llama circuncentro, mira papá: “El punto donde se encuentran las mediatrices de un triángulo se llama circuncentro por ser el centro de la circunferencia que pasa por sus vértices.”
- Hija, creo que me perdí muchas cosas maravillosas cuando era niño... Bueno, prueba a dibujar ese círculo, vamos a comprobar eso.
- Ya lo entiendo. Como la distancia de los vértices a la farola es la misma, los tres tienen que estar en la circunferencia porque –volvió a recitar– “todos los puntos de la circunferencia distan lo mismo del centro”.
- Cielo, ¡hoy nos hemos ganado la cena! Venga, ayúdame a poner la mesa.