Geometria Esférica - Preliminares

Consideremos um referencial ortonormado no espaço (em particular ficamos com uma unidade de medida de comprimento definida).Consideremos a superfície esférica de centro em , a origem do nosso referencial, e raio . Designamos esta superfície esférica por e notamo-la por . Notamos que com esta designação, ocorre uma situação que não nos é habitual (mas que é usual em Geometria Esférica): trataremos superfície esférica pela nomenclatura esfera. Também de acordo com um procedimento comum em Geometria Esférica, no resto deste trabalho, a menos de indicação em contrário, iremos sempre trabalhar com a esfera trigonométrica, , sendo que as definições e resultados a que vamos chegar poderão sempre ser adequados a qualquer outra superfície esférica. Analogamente, no resto deste trabalho, a menos de menção em contrário, sempre que falarmos em planos, estaremos apenas a considerar planos que intersetem a circunferência trigonométrica. Designamos por ou a interseção de com um plano que passa no seu centro, e designamos por a interseção de com um plano que não passa no seu centro. Um grande círculo divide a a superfície esférica em duas regiões iguais a que chamamos . Notamos que consideramos esses hemisférios como regiões que não contêm o grande círculo que lhes deu origem. Seja um ponto arbitrário de . A interseção de e a reta é um conjunto constituído por dois pontos, onde um deles é, obviamente, o próprio ponto . Designamos por , e notamo-lo por , o outro ponto que é resultado dessa interseção. Da definição de círculo máximo em é fácil concluir que um círculo é máximo se e só se o seu perímetro medir unidades de comprimento. De seguida vamos ver um resultado que nos dá mais um critério para aferir se um círculo de é ou não máximo. Proposição Seja um círculo arbitrário de e seja um ponto arbitrário de . Então o círculo é máximo se e só se o antípoda de pertence a . Demonstração: Seja um círculo máximo de e sejam e dois pontos arbitrários de . Então, por definição de círculo máximo, o círculo máximo pode ser obtido através da interseção do plano e de . Então é óbvio que pertence ao grande círculo (pois a reta pertence ao plano e, como tal, pertence a ). Consideremos agora um ponto de e o seu antípoda . Seja um ponto arbitrário de diferente de e de . Então é óbvio que o plano coincide com o plano (pois o ponto pertence à reta ) e, como tal, o círculo é um círculo máximo de . Pela arbitrariedade de temos o pretendido.

Apliqueta 8: Nesta apliqueta podemos concluir que o círculo de é máximo através das três maneiras que temos até agora ao nosso dispor:

• por definição, vendo que o círculo resulta da interseção de e do plano ,
• vendo que tanto o antípoda de como o antípoda de pertencem ao círculo ,
• e, recorrendo às capacidades do GeoGebra, vendo que o perímetro do círculo de é (este último não é um método conclusivo porque temos apenas valores aproximados).

Apliqueta 9: Nesta apliqueta temos uma representação de e de três dos seus pontos, , e . Movendo os pontos , e podemos visualizar qualquer círculo de . Recorrendo às potencialidades do GeoGebra, e aos três critérios descritos anteriormente, podemos instantaneamente comprovar se os círculos obtidos em cada situação são grandes ou pequenos (pensa no que deves fazer na apliqueta para conseguires observar o pretendido em cada um dos critério). Nesta apliqueta introduziu-se um elemento que, recorrendo ao valor do perímetro do círculo , nos confirma automaticamente se o círculo é ou não máximo (tal como foi descrito na apliqueta anterior, este processo não é exato por recorrer a valores aproximados).

Acabámos então de ver que na esfera trigonométrica podemos considerar pontos e círculos (sejam eles grandes ou pequenos círculos), mas o que dizer acerca de segmentos de reta e de retas? É óbvio que, qualquer segmento de reta ou reta definidos por dois pontos de , apenas podem ter esses dois pontos em , pois é uma superfície esférica e, assim, os restantes pontos serão interiores a (no caso de segmentos de reta) ou interiores e exteriores a (no caso de retas), e, como tal, não pertencem a . Pretendemos neste trabalho estabelecer uma correspondência entre Geometria Esférica (onde o universo a considerar é a esfera trigonométrica ) e Geometria no Plano e, para isso, vamos ter de tomar algumas considerações. Então:

• a segmentos de reta no plano vamos fazer corresponder arcos menores de grandes círculos (que também poderão ser designados por segmentos de grandes círculos) em ; e,
• a retas no plano vamos fazer corresponder grandes círculos em .

Estas correspondências podem parecer estranhas quando nos deparamos com elas pela primeira vez mas tornam-se "naturais" depois de nos debruçarmos um pouco sobre elas. No plano, definimos a distância entre dois pontos como sendo a medida de comprimento do segmento de reta que une esses dois pontos, pois essa é "a menor distância" entre eles. E na superfície esférica qual é a menor distância entre dois pontos de $S$? É exatamente a medida de comprimento do arco menor do grande círculo que contém esses pontos. Este é um facto comummente conhecido pelos alunos do Ensino Secundário e não só: basta lembrarmo-nos do que estudámos na disciplina de Matemática - e em outras! - acerca da distância de dois pontos na superfície terrestre (que foi aí considerada como sendo a superfície de uma esfera). No plano, ao prolongarmos indeterminadamente um segmento de reta obtemos uma reta. Considerando a correspondência anterior entre segmentos de reta e segmentos de grandes círculos, torna-se também natural fazer corresponder grandes círculos em a retas no plano, pois ao prolongarmos "indeterminadamente" segmentos de grandes círculos obtemos, obviamente, círculos máximos. Sejam e dois pontos de arbitrários. Designamos por , e notamo-lo por , o arco menor de um grande círculo que contenha e . Chamamos (ou, quando não houver ambiguidade, simplesmente ) e à medida de comprimento de um segmento esférico , e notamo-la por .

Apliqueta 10: Nesta apliqueta temos uma representação de e de dois pontos arbitrários e de . Podes deslocar livremente os pontos e em e visualizar o segmento esférico que os une. Para confirmares que o arco de circunferência que vemos é, de facto, um segmento esférico, podes selecionar o plano que passa na origem de e nos pontos e , constatando assim que o arco de circunferência visualizado é, efetivamente, o de um círculo máximo.

A anterior apliqueta 9 permite fazer mais uma importante conjetura. Tal como observamos na apliqueta, , a medida de comprimento do segmento esférico (que, obviamente, é dada em unidades de medida de comprimento - apesar de, neste trabalho, não termos definido uma unidade de medida de comprimento em particular), coincide com a medida de amplitude do ângulo em radianos, . Para sermos precisos, do observado apenas podemos conjeturar a igualdade atrás descrita. No entanto, e como é bem conhecido pelos alunos do Ensino Secundário, a medida de comprimento do segmento esférico é calculada recorrendo a proporcionalidade direta e ao perímetro do grande círculo , chegando-se exatamente à fórmula que prova a igualdade observada atrás: . Portanto esta igualdade, apesar de poder ter surpreendido alguns de nós num primeiro momento, é perfeitamente esperada. O que é aqui novo e que queremos realçar é: a medida de comprimento de um segmento esférico , ou seja, a distância entre dois pontos e de , , poder ser expressa tanto em unidades de medida de comprimento como em radianos.

Apliqueta 11: Nesta apliqueta, temos uma representação de e de três pontos arbitrários , e de . Podes mover livremente os pontos , e em para poderes conjeturar que, de facto, o comprimento desse arco é sempre menor ou igual ao comprimento de qualquer outro arco de circunferência de (neste caso, comparando com o arco ) e que, assim, a distância esférica que definimos satisfaz o que pretendíamos, ou seja, é a "menor distância" entre dois pontos de (neste caso, os pontos e ). Mais uma vez, para confirmares se os arcos de circunferências que vemos são ou não segmentos esféricos de , podes selecionar na apliqueta:

• o plano que passa na origem de , , e nos pontos e , e confirmar que o arco menor é um segmento esférico; e
• selecionar o plano que passa nos pontos , e para confirmar que o arco de circunferência é um segmento esférico quando e apenas quando coincide com o segmento esférico (pois, apenas neste caso, temos o plano a passar no centro de ).

Uma vez que já estabelecemos em Geometria Esférica correspondentes para segmentos de retas e para retas em Geometria no Plano, podemos agora estabelecer também uma correspondência para ângulos. Esta é no entanto uma definição mais complexa e que vamos apresentar apenas com o rigor necessário para os desenvolvimentos que pretendemos fazer. Mais uma vez, o GeoGebra tem aqui uma importância fundamental, pois permite-nos perceber e conjeturar relações de maneira simples e que são suficiente para as explorações que faremos.

Sejam , , e pontos de . Consideremos os planos e , e os grandes círculos que resultam das interseções desses planos e de (respetivamente, os círculos máximos e ). Seja um ponto arbitrário do círculo . No Espaço Euclidiano, definimos como sendo a única reta tangente a em que está contida no plano . Consideremos agora dois grandes círculos e de que se intersetem num ponto . Definimos (respetivamente, e ), como sendo o ângulo euclidiano formado pelas retas tangentes aos grandes círculos no ponto de interseção (respetivamente, nos pontos de interseção de e ). Esta definição estende-se naturalmente a segmentos esféricos que se intersetem (refletir sobre esta definição, nomeadamente, se deveria ser ângulo entre retas ou entre semirretas, e se o ângulo fica univocamente determinado). Nota: Na definição de ângulo esférico entre os grandes círculos e estamos a presumir que eles se intersetam. Isto ainda não foi provado (é um exemplo da falta de rigor que anteriormente avisámos que poderia ocorrer) mas, de facto, prova-se que, quaisquer dois grandes círculos (distintos) intersetam-se sempre em dois pontos (vamos ter oportunidade de o constatar no próximo subcapítulo), logo, não existe qualquer problema com esta definição.