Svojstva trigonometrijskih funkcija
Parnost i neparnost
Za funkciju kažemo da je parna ako vrijedi f(-t) = f(t), dok je funkcija neparna ako vrijedi
f(-t) = - f(t), za svaki t na kojem je f definirana.
Primjer:
1.)
; je parna funkcija.
2.)
; je neparna funkcija.
U apletu je prikazana brojevna kružnica na kojoj su istaknute točke E (t) = (cos t, sin t) i točka
E(-t) = (cos (-t), sin (-t)), njoj simetrična točka obzirom na x os.
U apletu je dan primjer za t = 2, gdje je prikazana točka E (2) = (-0.42, 0,91) i točka E (-2) = (-0.42, -0.91). Što je u koordinatnom zapisu ovih dviju točaka različito?
U tekstualni okvir t:____ upiši proizvoljan broj te promotri kakve su vrijednosti apscise i ordinate točke E (t) i točke E (-t). Što uočavaš?
Apscise točaka E(t) i E(-t) se podudaraju, dok su im ordinate suprotnog predznaka.
Stoga vrijedi: sin (-t) = - sin t,
cos (-t) = cos t
pa je sinus neparna funkcija, a kosinus parna funkcija.
Ako znamo da vrijedi i , kakve su parnosti funkcija tangens i kotangens?
Periodičnost
Pomiči točku i pogledaj sljedeći graf.
Što bi za tebe bila periodičnost?
Periodičnost vrlo često možemo susresti u prirodi, primjerice kod plime i oseke, vrtnje Zemlje oko Sunca, promjena godišnjih doba, titranja tijela na elastičnoj opruzi itd. Takve pojave koje se ponavljaju u određenim vremenskim razmacima nazivamo oscilirajućima, cikličkima tj. periodičnima.
Najmanji pozitivan period naziva se temeljni period.
Zemlja se vrti oko svoje osi s temeljnim periodom jednakim 24 sata. Koliki je temeljni period vrtnje Zemlje oko Sunca?
Funkcije čije se vrijednosti ponavljaju u određenim razmacima su periodične funkcije.
Odredi temeljne periode sljedećih funkcija tako da pomičeš klizač Novi graf.
Rješenja provjeri klikom na Prikaži rješenje.
U aktivnosti Namatanje brojevnog pravca na brojevnu kružnicu vidjeli smo da vrijedi , za cijeli broj. To povlači i da je i .
Funkcije sinus i kosinus su periodične s temeljnim periodom 2, a funkcije oblika i su također periodične s temeljnim periodom .
Iz apleta možemo vidjeti da funkcija tangens (graf označen zelenom bojom) i kotangens (graf označen narančastom bojom) periodične s temeljnim periodom . Funkcije oblika i su periodične s temeljnim periodom .