Otázka prince Ruprechta
Jedná se o otázku nalezení velikosti největší krychle, kterou lze protáhnou otvorem čtvercového průřezu v jednotkové krychli, vytvořeným tak, aby se jím jednotková krychle nerozpadla na několik částí.
Problém je spojován s osobou prince Ruprechta Falckého (1619-1682), který se narodil roku 1619 v Praze jako mladší syn "zimního krále" Fridricha Falckého (viz https://cs.wikipedia.org/wiki/Ruprecht_Falck%C3%BD). Princ Ruprecht si byl vědom toho, že krychlí lze bezpečně "protáhnout" krychli stejných rozměrů a vyslovil názor, že existuje i takové řešení, které by dovolovalo protáhnout krychli větší.
Geometrickým řešením tohoto problému se zabýval nejprve anglický matematik John Wallis (1616-1703, viz https://en.wikipedia.org/wiki/John_Wallis), Ruprechtův vrstevník a přítel. Jemu je připisováno pojmenování problému po Ruprechtovi. Zhruba sto let po Wallisovi pak problém řešil nizozemský matematik Pieter Nieuwland (1764-1794, viz https://en.wikipedia.org/wiki/Pieter_Nieuwland). Přitom až druhý jmenovaný vyřešil otázku maximálních rozměrů krychle, která může být protažena otvorem v jednotkové krychli. Toto řešení je pak často uváděno jako ona krychle prince Ruprechta (viz https://en.wikipedia.org/wiki/Prince_Rupert%27s_cube).
Další informace viz "WolframMathWorld: Prince Rupert's Cube: https://mathworld.wolfram.com/PrinceRupertsCube.html" nebo "The cube shadow theorem (pt.1): Prince Rupert's paradox (video): https://youtu.be/rAHcZGjKVvg".
Se jménem prince Ruprechta je spojen ještě jeden objekt, možná známější něž krychle, kapka prince Ruprechta , viz https://www.ceskatelevize.cz/ivysilani/10214135017-zazraky-prirody/bonus/14756-kapka-prince-ruprechta, nebo https://en.wikipedia.org/wiki/Prince_Rupert%27s_drop
PROBLÉM: Jakou největší krychli lze protáhnout otvorem v jednotkové krychli, vytvořeným tak, že se jím jednotková krychle nerozpadne na několik částí?
ÚKOL č. 1: Jaký největší čtverec lze vepsat jednotkové krychli?
Řešení: Zde je nabídnut dynamický model řezu krychle rovinou. Nastavováním podoby řezu manipulací s určujícími body I, J, K získáme představu o jeho možných tvarech. To nás může dovést, třeba v kombinaci s potřebnými výpočty, k umístění hledaného čtverce maximálních rozměrů.
Řešení: Hledaný čtverec je vepsán řezu krychle rovinou, který má tvar nepravidelného šestiúhelníku, viz obrázek níže. Toto řešení odpovídá tomu, které provedl Pieter Nieuwland (John Wallis pracovel se čtvercem vepsaným řezu krychle ve tvaru pravidelného šestiúhelníku). Dvojím užitím Pythagorovy věty dospějeme k soustavě dvou rovnic druhého stupně. Nezáporné řešení x = 1.06 (zaokrouhleno) této soustavy odpovídá délce strany hledaného čtverce.
ÚKOL č. 2: Sestrojte obě krychle?
Řešení: Postup řešení v programu GeoGebra, v Grafickém náhledu 3D.
Zdroje informací:
- Alsina, C. & Nelsen, R. B. A Mathematical Space Odyssey: Solid Geometry in the 21st Century. USA: MAA, Dolciani Mathematical Expositions #50, 2015, str. 130-131.
- WolframMathWorld: Prince Rupert's Cube: https://mathworld.wolfram.com/PrinceRupertsCube.html
- Burkard Polster: The cube shadow theorem (pt.1): Prince Rupert's paradox (video): https://youtu.be/rAHcZGjKVvg
- Problem of the Week 1225: Square Peg in Square Hole. The Math Forum at NCTM. http://mathforum.org/wagon/current_solutions/s1225.html
- Kapka prince Ruprechta (ČT: Zázraky přírody) https://www.ceskatelevize.cz/ivysilani/10214135017-zazraky-prirody/bonus/14756-kapka-prince-ruprechta
- Prince Rupert's drop (Wikipedia) https://en.wikipedia.org/wiki/Prince_Rupert%27s_drop