Vektoren als n-Tupel
Aufgabe 1
Beim Einkauf in einem Supermarkt darf man auf vier Waren Rabatt-Sticker (-25%) kleben. Berechne zu den Preisen (in €) P1 = 3,60; P2 = 7,80; P3 = 4,12 und P4 = 5,96 die ermäßigten Preise P1', P2', P3' und P4' (für jeden Preis mit einer einzelnen Rechenoperation).
Vereinfachte Schreibweise
Da in allen vier Multiplikationen der erste Faktor 0,75 ist, wird die Multiplikation nur einmal geschrieben; die vier alten und die vier neuen Preise werden zu sogenannten geordneten Quadrupeln P bzw. P' zusammengefasst:
Aufgabe 2
Berechne aus den Brutto(B)- und Netto(N)-Massen (in kg) dreier Pakete die Verpackungsmassen (Tara T):
Vereinfachte Schreibweise
Die drei Subtraktionen mit einzelnen Zahlen werden als eine Subtraktion mit sogenannten geordneten Tripeln geschrieben:
Aufgabe 3
Schreibe das folgende Gleichungssystem vereinfacht als eine Gleichung. (Steht ein Zeichen in beiden Gleichungen an derselben Position, so soll es nur einmal geschrieben werden.)
Die Koeffizienten von x bzw. y sowie die Zahlen auf der rechten Seite der Gleichungen wurden zu geordneten Paaren zusammengefasst.
Zusammenfassung
Um mehrere gleichartige Rechenoperationen als eine einzelne Rechenoperation schreiben zu können, haben wir mehrere reelle Zahlen zu geordneten Paaren, Tripeln und Quadrupeln (allgemein: n-Tupeln) zusammengefasst.
Die Menge aller geordneten Paare reeller Zahlen wird mitbezeichnet,
die Menge aller geordneten Tripel mit ,
...
die Menge aller geordneten n-Tupel mit .
Für Tupel der Menge definieren wir nun allgemein die beiden Rechenoperationen, die wir oben in den Aufgaben mit konkreten Zahlen verwendet haben*:
* Die Subtraktionen in Aufgabe 2 hätten wir auch als Addition der Gegenzahlen schreiben können.
| Paar: | (x1, x2) | bzw. | |
| Tripel: | (x1, x2, x3) | bzw. | |
| Quadrupel: | (x1, x2, x3, x4) | bzw. | |
| | | | |
| n-Tupel: | (x1, x2, ..., xn) | bzw. | |
| Addition: | |
| Multiplikation mit einer reellen Zahl: | |
Sprechweisen
Tupel, mit denen so gerechnet wird, bezeichnet man auch als Vektoren.
In den obigen Aufgaben kann also von Preisvektoren, Massenvektoren, Koeffizientenvektoren gesprochen werden.
Bemerkung:
Vektoren können sehr unterschiedlich definiert werden; hier geht es um den algebraischen Aspekt des Vektorbegriffs.