Vektoren in Ebene und Raum; Betrag eines Vektors
Der Übergang von der Ebene in den Raum - Betrag von Vektoren
In diesem Kapitel vollziehen wir den kleinen Schritt von der zweidimenionalen Ebende in den dreidimensionalen Raum. Als Ergänzung betrachten wir die Länge von Vektoren - ihren Betrag.
Die Länge eines Vektors in der Ebene - in einem zweidimensionalen Raum
Wie gehen Sie vor um im Applet unten die Länge des Vektors zu berechnen, wenn Sie die Koordinaten kennen? Beschreiben Sie die Grundidee.
Der Übergang in die dritte Dimension
Die Darstellung eines dreidimensionalen Objekts auf einer Fläche ist immer schwierig, da es sich bei einer Bildschairmdarstellung oder auf Papier immer um eine Projektion in die Zeichenebene handelt, letztlich eine Dimension verloren geht. Dazu gibt es Hilfsmittel.
Blenden Sie nun den 3d Vektor ein und bewegen Sie ihn mit Hilfe des roten Punktes B (Klicken ermöglich das Umschalten von horizontaler auf vertikale Bewegung). Versuchen Sie die Koordinaten des Endpunktes B dieses Ortsvektors abzulesen. Gelingt dies in eindeutiger Weise?
Blenden Sie nun den Quader Ort ein. Können Sie nun die Koordinaten eindeutig bestimmen?
Verändern Sie die Lage des Punktes und bestimmen Sie die Koordinaten, fahren Sie dabei alle Quadranten ab. Durch einblenden der Koordinaten können Sie jeweils Ihr Ergebnis kontrollieren
Betrag eines Vektors in 3d
Blenden Sie nun die Koordinaten wieder aus und versuchen Sie die Länge des Ortsvektors von A zu bestimmen. Vielleicht erinnern Sie sich noch an die Mittelstufengeometrie. Als Hilfe können Sie die horizonale Diagonale einblenden.
Formel zur Berechnung des Betrags
Notieren Sie sich in Stichworten Ihre Überlegung und die Herleitung der Berechnungsformel. In der Antwort finden Sie die Lösung.
Dreiecke
Blenden Sie nun zur weiteren Veranschaulichung den Quader aus und die beiden betreffenden rechtwinkligen Dreiecke ein.
Der Einheitsvektor
Dividiert man einen Vektor durch seinen Betrag, dann hat der daraus entstehende Vektor den Betrag 1. Einen solchen Vektor nennt man Einheitsvektor und versieht ihn üblicherweise mit dem Index 0:
