INTEGRACIÓN POR PARTES
Integración Por Partes
El método de integración por partes es útil para integrar funciones que se multiplican y que no se pueden resolver de manera inmediata o por el método de cambio de variable.
La fórmula para aplicar éste método es:
Se debe notar que la diferencial no corresponde con la función. Es decir, la función en éste caso es u mientras que la diferencial es dv.
Esto significa que se deben de hacer dos cambios de variable. El procedimiento a aplicar es el siguiente:
1) Hacer un factor igual a u y otro factor igual a dv.
2) Encontrar la diferencial del factor u, derivando respecto a la variable independiente.
3) Encontrar la función primitiva de dv para determinar el valor de v.
4) Sustituir éstos valores en la fórmula de integración por partes y resolver.
Hagamos un EJEMPLO:
Encontrar
En éste ejemplo no se puede integrar de manera inmediata porque no hay una fórmula que permita hacerlo. Tampoco aplica el método de cambio de variable porque, al derivar el argumento del coseno, no se obtiene el factor x.
Así pues, aquí se aplica el método de integración por partes.
1) Procedemos a realizar el cambio de variables, haciendo
u = x ; dv = cos(x) dx
2) Encontramos la diferencial du derivando u
du = dx
3) Encontramos v integrando dv
La fórmula a utilizar es
v = v = sen (x)
Es importante notar que la constante de integración la incluiremos sólo hasta el final para que no "nos haga mosca" así que, por el momento, la podemos ignorar.
4) Procedemos a hacer el cambio de variables en la fórmula de Integración por partes:
donde u, v, du y dv son los valores obtenidos en los incisos previos.
La integral que tenemos ahora, se debe poder integrar integrar, ya sea de manera directa o por cambio de variable.
Para resolver la integral que se nos presenta ahora, utilizamos la fórmula directa
de tal manera que nuestro resultado final es:
xcos(x)dx = x sen(x) +cos(x) +c
Importante notar que ya se incluyó hasta el final la constante de integración.
Es momento de explicar cómo se deben escoger los factores que corresponden a "u" y a "dv". Para asignar el factor que será "u", Se usa comúnmente la regla nemotécnica LATE en donde:
L = Logaritmo.
A = Algebraica o polinomial.
T = Trigonométrica
E = Exponencial.
Esto significa que daremos preferencia a que "u" sea el factor que incluye alguna de las funciones descritas por la regla LATE, estrictamente en ése orden, mientras que "dv" será el otro factor.
EJEMPLO:
Encontrar
De acuerdo a la regla nemotécnica LATE, asignamos
1) u = ln(x) ; dv = x dx
Y procedemos con el método descrito previamente:
2) du =
3) v =
Recuerda que la constante de integración la usaremos hasta terminar todo el procedimiento.
4)
Nota que, en la integral a resolver, tenemos en el numerador x2 y en el denominador x, por lo que podemos eliminar una de ellas, además de que podemos sacar de la integral la constante resultando una integral muy sencilla
No olvides incluir al final la constante de integración
Hasta aquí la parte de cálculo integral, quedando solamente aplicar toda el álgebra requerida para encontrar un resultado que sea más manejable.
SOLO PARA PRACTICAR.
Resuelve los siguientes ejercicios para que practiques el método de integración por partes (no son para revisión o entregar al profesor):
1)
RESPUESTA:
2)
RESPUESTA: