Verschieben und Strecken entlang der Achsen
Wozu?
Manchmal ist eine scheinbar komplizierte Funktionsgleichung einfach nur eine verschobene oder gestreckte aber ganz einfache Funktion. Wenn man das erkennen kann, dann erleichtert das das Lösen vieler Aufgaben.
Wenn bei einer Funktionsgleichung die Einheit der Zahlen auf der Ordinate oder der Abszisse geändert werden soll, von Kelvin auf Grad Celsius oder von Meter auf Zentimeter, dann lässt sich das einfach mit den unten stehenden Rezepten bewerkstelligen.
Nicht zuletzt ist das Kennen der untenstehenden Rezepte eine unschätzbare Hilfe dabei, zu erkennen, welche Wirkung Parameter in sogenannten Funktionsscharen haben.
Rezepte für das Verschieben
Rezept 1:
Verschieben einer Funktion um a Einheiten entlang der y-Achse:
- Schreibe einfach ein "" hinter die Funktionsgleichung von . Dann entsteht die Funktionsgleichung
- Beispiel: soll um 5 Einheiten nach oben geschoben werden:
- Ersetze jedes in der Funktionsgleichung von durch ein . Dann entsteht die Funktionsgleichung . Man beachte hier das Minuszeichen. Wenn in Richtung verschoben werden soll, dann muss das x durch ein ersetzt werden.
- Beispiel: soll um 6 Einheiten nach rechts verschoben werden: Natürlich kann man hier g(x) durch das Ausmultiplizieren der Klammern noch stark vereinfachen. Versuchen Sie es selbst.
Rezepte für das Strecken entlang der Achsen
Strecken entlang einer Achse kann man sich so vorstellen. Stellen Sie sich vor, das Koordinatenkreuz ist aus Gummi und lässt sich in alle Richtungen auseinanderziehen. Beim Strecken entlang der y-Achse wir die y-Achse festgehalten und links und rechts davon wird das Koordinatensystem auseinander gezogen. Genauso bei der x-Achse, hier wird nur die x-Achse festgehalten.
Rezept 3:
Strecken einer Funktion entlang der y-Achse um das c-fache:
- Setze die Funktionsgleichung von in eine Klammer und multipliziere diese Klammer mit der Zahl . Dann wird aus der Funktionsgleichung die Gleichung .
- Beispiel: soll um das 7-fache entlang der y-Achse gestreckt werden:
- Ersetzte jedes in der Gleichung von durch ein . Dann wird aus der Funktionsgleichung f(x) die Gleichung .
- Beispiel: soll um das 8-fache entlang der x-Achse gestreckt werden:
Probieren Sie es aus
In der folgenden Animation ist die Funktion abgebildet.
Probieren Sie die oben stehenden Rezepte aus:
- Wenn Sie f(x)+5 in die Eingabezeile eingeben, dann "rutscht" der Graf um 5 Einheiten nach oben
- Wenn Sie f(x-3) in die Eingabezeile eingeben, dann "rutscht" der Graf um 3 Einheiten nach rechts
- Wenn Sie 2 * f(x) in die Eingabezeile eingeben, dann wird der Graf um das 2-fache entlang der Ordniate gestreckt
- Wenn Sie f(x/4) in die Eingabezeile eingeben, dann wird der Graf um das 4-fache entlang der Abszisse gestreckt
Experimentierplatz
- Probieren Sie, was passiert, wenn man eine Funktion mit einem negativen Faktor streckt
- Probieren Sie aus, was passiert, wenn der Streckungsfaktor kleiner als 1 ist
- Verschieben Sie die Funktion auch in die negative Richtungen der Achsen
- Probieren Sie dies auch mit anderen Funktionen aus
Wie sieht der Funktionsgraph der folgenden Funktion aus?
Noch mehr Experimente
Erkennen Sie die Funktionsgrafen
Für Neugierige: Warum muss man bei einer Veränderung bezüglich der Abszisse immer "das Gegenteil" eingeben?
Eigentlich gibt man auch beim Verschieben und Strecken bezüglich der Ordinate (der y-Achse) das Gegenteil ein. Beim Verschieben oder Strecken von Funktionsgrafen verschiebt oder streckt man tatsächlich nicht den Grafen, sondern das Koordinatensystem.
Eine Funktionsgleichung wird in ein Koordinatensystem eingetragen, wie die Funktion , das heißt der Funktionswert steht immer für unsere y-Koordinate.
Wenn man den Funktionsgrafen um Einheiten nach rechts geschoben hat, dann kann man das gleiche Bild erhalten, indem man den Grafen festhält und das Koordinatensystem um Einheiten nach links "schiebt". Wenn also jedes durch ein ersetzt wird, dann hat man eigentlich die -Achse um zwei Einheiten nach links geschoben.
Beim Verschieben entlang der Ordinate ist es das gleiche, nur dass hier die -Achse verändert wird. Wird die Funktion entlang der -Achse um Einheiten nach oben geschoben, dann schiebt man eigentlich die -Achsen um Einheiten nach unten: . Aber da wir für das Erstellen einer Wertetabelle und das Zeichnen eines Funktionsgrafen immer eine Gleichung brauchen, die mit beginnt, muss die noch auf die andere Seite des Gleichheitszeichens gebracht werden und erscheint daher als auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens.
Genau so kann man sich überlegen, dass das Strecken des Funktionsgrafen von entlang der Ordinate mit dem Faktor , also , eigentlich daher kommt, dass man die -Achse unter dem Funktionsgrafen mit um das -fache verkleinert hat: . Durch das Multiplizieren mit , kommt die als Faktor auf die rechte Seite des Gleichheitszeichens.