Von der Sekante zur Tangente

Topic:Derivative, Difference and Slope, Tangent Line or Tangent

Von der Sekante zur Tangente

Wir betrachten die Funktion

. Auf dem Graphen von f liegen die Punkte P(1|f(1)) und Q(2|f(2)).

Wir betrachten nun was passiert, wenn wir den Punkt Q entlang des Graphen auf den Punkt P zubewegen. Betrachte dazu das folgende Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von h verändern. Je kleiner h ist, desto näher liegt Q an P.

Ein Blick auf den Graphen - von der Sekante zur Tangente

Im Heft:

Skizziere den Graphen inklusive der Sekante für h=1 in dein Heft ein. Finde durch Veränderung am Schieberegler folgende Sekantensteigungen und notiere sie in einer Tabelle im Heft:

Kontrolle

Welchen Wert hat die Sekantensteigung für h=0,1?

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Tangentensteigung

Wählst du h=0, so liegt Q auf P. Aus der Sekante (die den Graphen in zwei Punkten schneidet) ist eine Tangente geworden, die den Graphen an der Stelle P berührt. Die Tangente schmiegt sich an den Graphen an, so dass die Steigung der Tangente gleich der Steigung des Graphen an der Stelle x=1 ist. Wir bestimmen also den Grenzwert des Differenzenquotienten: Um mathematisch auszudrücken, dass h immer kleiner wurde, verwenden wir den Begriff des Grenzwertes:

(lies: Limes für h gegen 0) bedeutet, dass wir den Grenzwert bilden, wenn h immer kleiner wird.

Ergebnis

Schreibt folgenden Merksatz in euer Heft: Die Steigung eines Graphen an einer Stelle

kann über die Tangentensteigung bestimmt werden. Sie kann mit dem Grenzwert des Differenzenquotienten berechnet werden und wird als Ableitung an der Stelle bezeichnet:

Nachdenken...

Einen Grenzwert zu bilden klingt kompliziert. Wieso kannst du im Differenzenquotient nicht einfach für h den Wert 0 einsetzen?

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A
Wenn h=0 ist, dann kann ich nicht ausrechnen.
B
Ich muss den Grenzwert für h gegen 0 bilden, damit der Differenzenquotient immer kleiner wird.
C
Wenn ich h=0 in den Differenzenquotienten einsetze, steht im Nenner 0. Ich kann nicht durch 0 teilen, deswegen ist dieser Wert nicht definiert.

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Beispiel

Oben hast du für die Funktion

die Tangentensteigung an der Stelle

bestimmt. Die Tangentensteigung und damit die Steigung des Graphen ist an dieser Stelle 1. Wir schreiben:

(lies: Die Ableitung von f an der Stelle

ist 1.

Aufgabe

Was bedeutet der Ausdruck ?

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A
Die Ableitung an der Stelle x=-1 ist 2.
B
Die Ableitung an der Stelle x=2 ist -1.
C
Die Steigung der Tangente im Punkt P(-1|f(-1)) ist 2.
D
Die Steigung der Tangente im Punkt P(2|f(2)) ist -1.
E
Die Steigung des Graphen von f an der Stelle x=2 ist -1.
F
Die Steigung des Graphen von f an der Stelle x=-1 ist 2.

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