Elementarmatrizen
Unter einer Elementarmatrix oder Eliminationsmatrix versteht man in der linearen Algebra eine quadratische Matrix, welche sich entweder durch die Änderung eines einzigen Eintrages oder durch Vertauschen zweier Zeilen von einer Einheitsmatrix unterscheidet. (wikipedia).
Elementarmatrizen beschreiben z.B. die Schrittfolgen des Gauss-Algorithmus, also Zeilenadditionen, Spaltenadditionen, Zeilen-, oder Spaltentausche).
Elementarmatrizen haben spezielle Eigenschaften:
- Typ Zeilen-/Spaltenoperationen: E=(eij), eii = 1, ∃! eij ≠ 0 mit i≠j, (inverse (-1) eij )
- Typ Zeilen-/Spaltenmultiplikationen: E=diag(eij), ∃! ejj Faktor, ∀i sonst eii=1, (inverse 1/ejj )
- Typ Zeilen-/Spaltenvertauschungen: E= (eij), Zeile i vertauscht mit Zeile j, ( selbstinvers )
| | Zeilen-, Spalten-Operationen E(z,s,m) ezs=m in Zeile z, Spalte s einer Einheitsmatrix Ausführen der Aktion bei Multiplikation von links: Zeile z = Zeile z + Zeile s * m rechts: Spalte s = m*Spalte z + Spalte s Um in Matrix A das Element zu setzen, kann eine Zeilenoperation angewendet werden. | E(2,3,m) A A E(2,3,m) |
| | Zeilen-, Spalten-Tausch T(z,s) tauscht z,s einer Einheitsmatix |
- Multiplikationen von Links sind Zeilenoperationen
- Multiplikationen von Rechts sind Spaltenoperationen
- Tauschmatrizen sind Selbstinvers T(1,3) T(1,3) =E
- ZS-Operationsmatrizen eij () Inverse werden durch Negieren der Werte außerhalb der Diagonalen gebildet E(4,2,1) E(4,2,-1) = E Bei Multiplikation zweier ZS-Operationsmatrizen werden die Einträge eij einfach übernommen, wenn die inneren -E(z,i,m) E(i,s,n)- bzw. äußeren -E(i,s,m) E(z,i,n)- Indizes i verschieden sind E(4,1,1) E(4,2,-1) ===> E'(e'41=1, e'42=-1)
- ZS-Operationsmatrizen eij (i=j) auf der Diagonalen (e11=a) Multiplikation/Division mit a (e11-1=1/a): E(1,1,8) E(1,1,1/8) = E
Beispiel:
Auf A soll der Gauss-Algorithmus, beschrieben durch Elementarmatrizen, angewendet werden
===> A-1 = E(1,3,-1) E(2,3,-4) E(3,3,-1/8) E(3,2,-2) E(3,1,-3) E(2,1,1) T(1,3)
===> Invertieren der Elementarmatrizen (reverse Reiehenfolge) mit negativen Faktoren
===> A = T(1, 3) E(2, 1, -1) E(3, 1, 3) E(3, 2, 2) E(3, 3,-8) E(2, 3, 4) E(1, 3, 1)
| | Tausche Zeile1 und Zeile3 ===> damit erstes Diagonalelement 1 ist: A1=T(1,3) A ==> | |
| | A1(2,1)=-1 ==> A1(2,1)=0 ===> Zeile2 = Zeile2+Zeile1 A2= E(2,1,1) T(1,3) A | |
| | A2(3,1)=3 ==> A3(3,1)=0 ===> Zeile3 = Zeile3-Zeile1*3 A3=E(3,1,-3) E(2,1,1),T(1,3) A | |
| | A3(3,2)=2 ==> A4(3,2)=0 ===> Zeile3 = Zeile3-Zeile2*2 A4=E(3,2,-2) E(3,1,-3) E(2,1,1),T(1,3) A | |
| A4(3,3)=-8 ==> A5(3,3)=1 ===> Zeile3 = Zeile3/(-8) A5=E(3,3,-1/8) E(3,2,-2) E(3,1,-3) E(2,1,1),T(1,3) A | | |
| | A5(2,3)=4 ==> A6(2,3)=0 ===> Zeile2 = Zeile2-Zeile3*4 A6= E(2,3,-4) E(3,3,-9/8) E(3,2,-2) E(3,1,-3) E(2,1,1),T(1,3) A | |
| | A6(1,3)=1 ==> A7(1,3)=0 ===> E ===> Zeile1 = Zeile1-Zeile3 E=E(1,3,-1) E(2,3,-4) E(3,3,-9/8) E(3,2,-2) E(3,1,-3) E(2,1,1),T(1,3) A | |
ElementarMatrizenDarstellung2.ggb
Technische Hinweise
Zur Erzeugung der Elementarmatrizen kommen Funktionen T(z,s), E(z,s,m) zum Einsatz.
Eine E-Matrize mit den Parameterangaben von Links multipliziert liest sich als
abschließen
E(zle,spl,kk):=Sequence(Sequence(Element(Identity(n), zz,ss)-1*(zle==spl && zle==zz &&spl==ss)*1+If(zz==zle && ss==spl,kk,0),ss,1,n),zz,1,n)
E_i(zz,ss,kk,nn):= Identity(nn) + kk Transpose(Element(Identity(nn),zz)) {Element(Identity(nn),ss)}
L_i(AA,ss):=Identity(n) -Transpose({Join(Take(Element(Identity(n),n),1,ss) ,Take(Element(Transpose(AA), ss),ss+1)/Element(AA, ss,ss)) }) Take(Identity(n),ss,ss);
Ggf. die Funktionsdef um Matrizendimension erweitern E(zle,spl,fzs,nn),T(zz,ss,nn) wenn Rnxm Matrizen bearbeitet werden sollen!
Eine eigene Matrix A geben sie in Algebra View oder über die Eingabezeile ein.
Die Elementarmatrizen erstellen sie im CAS Zeile 3 in Listenform (damit sie einzeln angezeigt werden)
4: LE
enthält eine Liste von Elementarmatrizen die mit der Funktion Produkt multipliziert werden (erfolgt in Algebra View weil im CAS fehlerhaft)
5: LEA
ist das Produkt LE A
- E(4,3,2) : Zeile4 = Zeile4+Zeile3*2
- E(2,2,4) : Diagonalelement e22=1 ===> 4
- E(3,1,-a31/a11) : A Element a31 soll durch Addition von -a31/a11*Zeile1A zum Null-Eintrag werden
- L_i(A,n): Elementarmatrizen-Produkt um in A Spalte n unter der Diagonalen Nullen zu erzeugen
var n=Length(A)
Achtung: Eingabe der user-functions T(), E() mit [keep input] abschließen
T(zz,ss):=Sequence(Element(Identity(n), If(kk<>zz && kk<>ss,kk,If(kk==zz,Max(zz,ss),Min(zz,ss)))),kk,1,n)
E(zle,spl,kk):=Sequence(Sequence(Element(Identity(n), zz,ss)-1*(zle==spl && zle==zz &&spl==ss)*1+If(zz==zle && ss==spl,kk,0),ss,1,n),zz,1,n)
E_i(zz,ss,kk,nn):= Identity(nn) + kk Transpose(Element(Identity(nn),zz)) {Element(Identity(nn),ss)}
L_i(AA,ss):=Identity(n) -Transpose({Join(Take(Element(Identity(n),n),1,ss) ,Take(Element(Transpose(AA), ss),ss+1)/Element(AA, ss,ss)) }) Take(Identity(n),ss,ss);
Ggf. die Funktionsdef um Matrizendimension erweitern E(zle,spl,fzs,nn),T(zz,ss,nn) wenn Rnxm Matrizen bearbeitet werden sollen!
Eine eigene Matrix A geben sie in Algebra View oder über die Eingabezeile ein.
Die Elementarmatrizen erstellen sie im CAS Zeile 3 in Listenform (damit sie einzeln angezeigt werden)
4: LE
enthält eine Liste von Elementarmatrizen die mit der Funktion Produkt multipliziert werden (erfolgt in Algebra View weil im CAS fehlerhaft)
5: LEA
ist das Produkt LE A
