Oktaeder und dualer Würfel
Dualer Körper
Alle platonischen Körper haben einen dualen Körper, der wiederum ein platonischer Körper ist.
Im folgenden Applet ist in das Oktaeder ein Hexaeder einbeschrieben, den man erhält, wenn man die sechs Flächenmitten rechtwinklig verbindet. Somit ist das Hexaeder der duale Körper zum Oktaeder, aber kleiner.
In das Hexaeder kann man die Flächenmitten verbinden und erhält wieder einen Oktaeder, was aber hier nicht gemacht wird.
Wenn man diese Dualität betrachtet, kann man das Oktaeder sowohl über die Flächenmitten abstumpfen, als auch über die Oktaederecken.
Dabei lässt man die Umkugel des Oktaeders auf den Radius der Inkugel des Oktaeders schrumpfen, die nur noch die Seitenflächen des Oktaeders berührt. Alternativ kann man die Umkugel des Hexaeders strecken, bis der Radius der Umkugel des Oktaeders erreicht ist.
In der dynamischen Animation lässt sich der dualen Würfel in das das Oktaeder in überführen und zurück.
Die einzigen nichtregulären Flächen sind die roten Rechtecke,von denen zwei gegenüberliegende Seiten (Polyederkanten) kleiner werden. Die gelbenDreiecke, deren Seiten ebenfalls kürzer werden sind regelmäßige Dreiecke und mit denblauen Quadraten die einzigen dauerhaft regulären Polygone.
Diese Größenänderungen beziehen sich auf die Metamorphose:dualer Würfel - Oktaeder. Bei der Umkehrung verändern sich dieselben Kanten umgekehrt.
Zu einem Radius der wachsenden bzw. schrumpfenden Inkugel bzw. Umkugel existiert ein archimedischer Körper, das Rhombenkuboktaeder, das aus 26 Flächen besteht, die sich auf 8 gleichseitige Dreiecke und 18 Quadrate aufteilen, das man ungefähr erhält (auf 3 Nachkommastellen genau), wenn man die Schaltfläche Rhombenkuboktaeder drückt.