Multiple-Choice-Aufgaben zu (iii) und (iv)
Diese Aufgabe dienen als Kontrolle, ob du die Rechenregeln verstanden hast und anwenden kannst. Sie sind etwas schwieriger als die Aufgaben zuvor und es ist ab und zu mehr als eine Antwort richtig.
Wie immer siehst du zunächst nochmal die Regeln, auf die sich die Aufgaben beziehen.
Rechenregeln für Grenzwerte
Gegeben seien konvergente Folgen mit Grenzwert und mit Grenzwert . Dann gelten folgende Aussagen:
(i) Für jede Konstante ist die Folge konvergent und es gilt .
(ii) Die Folge ist konvergent und es gilt .
(iii) Die Folge ist konvergent und es gilt .
(iv) Falls alle sind sowie ist, so ist die Folge konvergent und es gilt .
1. Aufgaben zu (iii)
Untersuche die nachfolgenden Folgen auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
a)
Bestimme den Grenzwert von , falls möglich.
b)
Bestimme den Grenzwert von für , falls möglich.
c)
Bestimme den Grenzwert von , falls möglich.
d)
Bestimme den Grenzwert von , falls möglich.
2. Aufgaben zu (iv)
Untersuche die nachfolgenden Folgen auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert. Halte am besten ein Blatt für Nebenrechnungen bereit.
Du kannst dabei folgenden Limes als bekannt verwenden:
Für gilt:
, sonst: divergent.
Falls , so ist
a)
Bestimme den Grenzwert von , falls möglich. Kreuze auch wichtige Zwischenschritte an!
b)
Finde die Folge, die den gleichen Grenzwert hat, wie .
c)
Wie hängen die Folgen aus a) und b) zusammen?
d)
Bestimme den Grenzwert von , falls möglich.
e)
Die Folge ist konvergent. Der Grenzwert ist . Doch so wie die Folge dort steht, darf man die Rechenregeln nicht anwenden, da Zähler und Nenner divergieren. Wie muss man die Folge richtig umformen?
Solltest du eine Frage falsch beantwortet haben und Fragen zum Lösungsweg haben, so kannst du in den Lösungen zu den Aufgaben (mit * markiert) nachschauen.
