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Cassini 1

Author:Walter Füchte
 Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Elliptische Funktionen & Bizirkulare Quartiken & ... (05.02.2023)
In einer Schar konfokaler bizirkularer Quartiken liegen genau 2 CASSINI-Quartiken. Eine bizirkulare Quartik nennen wir CASSINI-Quartik, wenn sie das Bild einer CASSINI-Lemniskate unter einer Möbius-Transformation ist. ( wikipedia Cassinische_Kurve) Eine CASSINI-Lemniskate ist euklidisch definiert durch eine Gleichung der Form
  • mit Konstanten und ,
Die Gleichung kann man als multiplikative Version der Gärtner-Konstruktion einer Ellipse auffassen. werden als Brennpunkte der Lemniskate bezeichnet, die CASSINI-Quartiken besitzen aber, wie alle bizirkularen Quartiken 4 Brennpunkte (zusammenfallende mitgezählt!). In einem geeigneten komplexen Koordinatensystem entsteht eine Cassini-Lemniskate aus einem Kreis unter der komplexen Wurzel-Funktion: So entsteht oben für , aus dem Kreis mit unter der Wurzel-Funktion die CASSINI-Quartik mit den Scheiteln . Die 2. CASSINI-Quartik (mit -Achsen-Schnittpunkten) wird mit der Möbiustransformation auf eine CASSINI-Lemniskate mit den Brennpunkten abgebildet. Für diese Lemniskate gilt wieder eine Gleichung der obigen Form: Toolbar ImageCASSINI2-Leitkreis und Toolbar ImageCASSINI-Eigenschaft. Die Kurven sind (auch) mit Hilfe des Brennpunkts f und der Leitkreise als Ortskurven konstruiert (mehr dazu im nächsten Kapitel). CASSINI-Quartiken sind bei der Leitkreis-Konstruktion dadurch charakterisiert, dass der Brennpunkt f, gespiegelt am Leitkreis, auf einen der Koordinatenpunkte fällt. Eine weitere möbiusgeometrische Charakterisierung der CASSINI-Quartiken ist die als Berührort bzw. als Peripherie-Winkel-Ort:
  • Der Ort, in welchem sich die Kreise zweier Kreisbüschel berühren, bzw. in welchem sie sich unter konstantem Winkel schneiden, ist eine CASSINI-Quartik - falls er nicht in 2 Kreise zerfällt.
Im Applet oben sind die Brennpunkte der beiden Kreisbüschel die CASSINI-Quartik-Scheitel auf der -Achse. Ein Kreisbüschel ist elliptisch, das andere hyperbolisch. CASSINI-Quartiken sind also das möbiusgeometrische Pendant des euklidischen Peripherie-Winkel-Kreises, in welchem sich die Geraden zweier Geradenbüschel unter konstantem Winkel schneiden!

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