Arbre de Noël fractal (triangle de Sierpinski)
Prenez une feuille, par exemple un fromat A4, pliez la en deux A5. Du côté de la pliure, coupez, du milieu du côté jusqu'au centre du rectangle A5. Dépliez, puis transformez le pli "montagne" en un pli "vallée" ce qui fait apparaitre deux montagnes depuis les deux centres des rectangles A5 jusqu'au bord inférieur, en amenant cette moitié de côté intérieur (le côté "reliure") vers le bord extérieur. Vous obtenez trois rectangles A6. Rétiérez la procédure sur les deux rectangles A6 le long de la diagonale: coupez depuis le milieu de la pliure jusqu'au centre du rectangle A6 (le rectangle inférieur est en double épaisseur), repliez la montagne inférieure en une vallée, créant deux nouvelles montagnes.
Combien y-a-t'il de montagnes et de vallées à chaque itération? La longueur de découpe à chaque étape, en ne comptant pas les épaisseurs, reste constante, car elle est deux fois moins longue mais il y en a deux fois plus. Cependant, en comptant les épaisseurs, quelle est cette longueur totale?
Vous pouvez ouvrir votre "arbre de Noël" avec un certain angle. Si vous l'ouvrez avec un angle droit, la hauteur d'une feuille A4 devient exactement le côté inférieur du triangle! Si vous l'ouvrez avec un angle de deux-tiers de plat (120°), vous obtenez un triangle équilatéral. Avec le bon angle, on a ainsi la décomposition du triangle de Sierpinski.
