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Trapezfläche funktional

Autor:Jürgen Roth
Dieses GeoGebra-Applet bezieht sich auf folgenden Artikel: Roth, J. (2008). Systematische Variation – Eine Lernumgebung vernetzt Geometrie und Algebra. Mathematik lehren, 146, 17-21
Erkundungsaufträge (1) Form erkunden − Begriffe bilden Variiere mit Hilfe der Schieberegler für a, c und h und durch Ziehen am Punkt C die Trapezform.
  • Welche Sonderfälle kannst du so herstellen?
  • Was bedeutet das für die Beziehung zwischen den Viereckstypen?
(2) Sinnvolle Termumformungen Der Flächeninhalt des Trapezes ABCD kann über folgende Formel berechnet werden:

 a) Wie lauten die entsprechenden Formeln für  - ein Dreieck?  - ein Parallelogramm?  - ein Rechteck?  - ein Quadrat?

Hinweis: Die Formeln können notfalls im GeoGebra-Applet aufgerufen werden. Dazu muss das Auswahlfeld Flächeninhalt angeklickt und anschließend das gewünschte Viereck ausgewählt werden. b) Kannst du die Flächeninhaltsformel für das Trapez entsprechend umformen?   Hinweis: Bei Problemen können dir die Ergebnisse aus "(1) Form erkunden − Begriffe bilden" evtl. weiterhelfen. (3) Grenzfälle untersuchen Die Variablen a, c und h in der Flächeninhaltsformel  des Trapezes ABCD bezeichnen jeweils Streckenlängen und können keine negativen Werte annehmen.
  • Was passiert im Grenzfall, wenn a, c oder h gleich Null wird?
(4) Formeln interpretieren Wenn man den Term der Flächeninhaltsformel des Trapezes ABCD ausmultipliziert, dann ergibt sich (vgl. Trapez 1): 
  • Kannst du die ausmultiplizierte Formel geometrisch interpretieren?
(5) Funktionale Zusammenhänge entdecken Wie verändert sich der Flächeninhalt, wenn die Höhe h von Null beginnend gleichmäßig vergrößert wird?
  • Wird er größer, wird er kleiner oder bleibt er gleich?
  • Verändert er sich, genau wie die Höhe h auch gleichmäßig oder manchmal schneller und manchmal langsamer? Hinweis: Du kannst diese Frage z. B. mit Hilfe von geometrischen Überlegungen klären.
Gib den Punkt P(h|A) mit der Länge der Höhe h als x-Koordinate und dem Flächeninhalt A des Trapezes ABCD als y-Koordinate über Koordinaten (h|A) aus und variiere h mit dem entsprechenden Schieberegler.
  • Was beobachtest du?
  • Welcher funktionale Zusammenhang besteht also zwischen h und dem Flächeninhalt A des Trapezes? Hinweis: Du kannst den zugehörigen Funktionsgraph über Koordinaten A(h) einblenden.
  • Kannst du bei der Variation von h am Graphen besondere Eigenschaften des funktionalen Zusammenhangs entdecken?
  • Überlege, warum gerade dieser funktionale Zusammenhang besteht. Hinweis: Du kannst das z. B. geometrisch begründen.
  • Kannst du die Flächeninhaltsformel für das Trapez so umformen, dass du den entdeckten Funktionstyp anhand des Funktionsterms erkennst?
(6) Weitere Erkundungen zu funktionalen Zusammenhängen Nun sollen a bzw. c variiert und die Funktionen A(a) bzw. A(c) betrachtet werden.
  • Was erwartest du, wie die Funktionsgraphen von A(a) und A(c) verlaufen? Schreibe deine Vermutung zunächst auf!
  • Beantworte die Fragen aus dem Abschnitt "(5) Funktionale Zusammenhänge entdecken" auch für die Funktionen A(a) und A(c).
  • Waren deine Vorhersagen richtig? Weißt du jetzt, warum die Graphen so verlaufen, wie unter Koordinaten   A(a) bzw. A(c) dargestellt?
  • Variiere nun die drei Größen mit Hilfe der Schieberegler und beobachte die Veränderungen an den Funktionsgraphen. Kannst du deine Beobachtungen erklären?

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