Cubo di binomio

Indichiamo con la lettera a un numero naturale. La scrittura a³ si legge "a alla terza" oppure "a al cubo" ed equivale a scrivere

a³ = aaa

Se, ad esempio, a = 2 allora a³ = 2³ = 2 2 2 = 8. Dal punto di vista geometrico possiamo pensare al numero a³ come al volume di un cubo che ha gli spigoli lunghi a. Cosa succede quando consideriamo il cubo di un binomio, cioè qualcosa del tipo (a + b)³? Il discorso fatto in precedenza continua a valere, quindi (a + b)³ rappresenta il volume di un cubo che ha i lati che misurano a + b.

( a + b )³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Come possiamo convincerci che questa formula è quella giusta? Guardiamola dal punto di vista geometrico! Ancora una volta troviamo due "pezzi", a³ e b³, che rappresentano il volume di due cubi, uno di lato a e uno di lato b... e gli altri due termini? Il "pezzo" 3a²b corrisponde al volume di 3 parallelepipedi uguali che hanno come base un quadrato di lato a e hanno l'altezza uguale a b. Il volume di un parallelepipedo, infatti, si calcola moltiplicando l'area di base per l'altezza e se la base è un quadrato di lato a, la sua area si trova calcolando "lato per lato" cioè a². Possiamo ripetere lo stesso discorso per il termine 3ab².

Nella costruzione in alto puoi vedere un cubo di lato a (in blu) e un cubo di lato a+b (in rosso). Puoi modificare i valori di a e di b utilizzando gli slider neri nella schermata di destra. Muovi gli slider Verde, Giallo e Arancio per "aggiungere pezzi" al cubo blu per costruire un secondo cubo equivalente a quello rosso.