Das ungleiche Rennen
Diese Datei ist eine graphische Lösung zur Aufgabe 'Das ungleiche Rennen'.
Was bedeuten die Koordinaten vom Punkt S für die Aufgabe?
Welche Steigung hat die rote Gerade?
Welche Steigung hat die schwarze Strecke?
Welche Koordinaten hat der Punkt P_v? Warum?
Treffpunktaufgaben
Weg - Zeit - Diagramm
Das obige Applet zeigt ein sogenanntes Weg Zeit Diagramm, das ursprünglich aus der Physik stammt.
Wenn Sie mal auf Ihre Sprache achten, wenn Sie über längere Entfernungen sprechen, dann ist es doch häufig so, dass man die Frage: "Weißt du, wie weit es bis nach Dortmund ist?", die Antwort bekommt: "Ja, etwa 2 Stunden!".
Streng genommen beantworten Sie eine Frage nach einer Streckenlänge mit einer Zeitspanne, das dürfen Sie auch weiterhin so machen, aber Sie sollten wissen, welche mathematische Begründung diese 'Umgangssprache rechtfertig.
Zunächst noch einmal der Hinweis, dass auf der x-Achse die unabhängige Variable steht und auf der y-Achse (f(x)-Achse) der abhängige Wert. Die Abhängigkeit wird durch eine Funktionsvorschrift (Funktionsterm) beschrieben.
Wenn Sie das Arbeitsblatt zu den Linearen Gleichungssystemen anschauen, dann finden Sie dort eine Definition der Durchschnittsgeschwindigkeit:
Dabei bedeute s den zurückgelegten Weg, und t die dafür benötigte Zeit.
Damit werden Geschwindigkeitsangaben (Durchschnittsgeschwindigkeiten) zu Steigungen in einem Weg - Zeit - Diagramm.
Die Angabe 90 bedeutet ja: In einer Stunde (1 Schritt nach rechts) werden 90 Kilometer(90 Schritte nach oben) zurückgelegt.
Die Steigung m haben Sie kennengelernt als: und übertragen auf das Problem wird daraus:
Jetzt benötigen Sie noch den Achsenabschnitt. Da der Motorradfahrer später losfährt. kann man auch sagen, er fährt gleichzeitig von einem weiterentfernten Ort los.
Wenn er zwei Stunden später losfährt, kann er auch gleichzeitig von einem Ort losgefahren sein, der 180 km vom Startpunkt des Fahraradfahrers entfernt ist.
Damit erhalten Sie für das Rennen folgende Funktionsterme:
Der Fahrradfahrer legt 40 km pro (eine) Stunde zurück: cF=40 •t
Der Motorradfahrer legt 90 Km pro Stunde zurück, und startet von einem Ort, der 180 Km vom Startpunkt des Fahrradfahrers entfernt ist, also: vM= 90 •t - 180 km.
Damit haben Sie das Problem als lineares Problem mit der Anwendung der Parameterdarstellung
f(x):= mx + n
modelliert. Sie können jetzt dieses Problem grafisch (im KOS) lösen oder algebraisch (mit einem linearen Gleichungssystem) lösen.