Poliedros - Exercícios

A embalagem de um produto pode atuar como diferencial na escolha entre dois itens com qualidade e preço semelhantes. Por isso, constantemente, são feitas pesquisas com o objetivo de criar embalagens que chamem mais a atenção e conquistem mais clientes. Uma agência de marketing propôs a um fabricante de relógios uma embalagem mais atrativa para seu produto: em cada ponta da nova caixa – que representa um poliedro convexo –, serão utilizados três pequenos enfeites, totalizando 30 deles. Sabe-se que essa nova caixa tem 15 arestas. A quantidade de faces que essa nova caixa terá é

Para produzir um objeto de decoração, Sérgio deseja unir pelos extremos 18 pedaços de arame de mesmo comprimento, sendo 12 azuis e 6 vermelhos, formando uma estrutura poliédrica fechada com 6 faces quadrangulares e duas hexagonais. Sabendo que todas as arestas paralelas terão a mesma cor, é correto concluir que cada face:

A gripe comum é causada por um tipo de vírus chamado adenovírus, descoberto em 1950. Uma das dificuldades em se desenvolver medicamentos eficazes contra o adenovírus é que, até agora, sua estrutura não era completamente conhecida. Anos depois de sua descoberta, um grupo de cientistas anunciou que conseguiu revelar a verdadeira “face” do vírus. Segundo eles, o genoma do adenovírus é coberto por uma nucleocápsula de simetria icosaédrica, conforme a figura a seguir. Nessa cápsula, há 12 hexons no interior de cada face e um penton em cada vértice. Hexons e pentons são chamados de capsômetros. Além disso, da base de cada penton sai uma proeminência denominada fibra. Essas fibras salientes se ligam a um receptor celular, que tem como função auxiliar na aderência de uma célula a outra. É correto afirmar, de acordo com o exposto, que no adenovírus há:

Platão, um filósofo e matemático, fundou uma das mais prestigiosas instituições de estudo da Antiguidade: a “Academia”. A partir de então, ele começou a dar maior ênfase ao estudo dos sólidos geométricos, o que chamamos hoje de poliedros de Platão. Sabendo que a Relação de Euler é válida para os poliedros de Platão (tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro regulares) e para todo poliedro convexo, o número de faces de um poliedro convexo de 14 arestas, que possui o mesmo número de faces e de vértices, será:

O pentacloreto de fósforo (PCl₅) é uma molécula que possui ligações entre os átomos de fósforo e de cloro, com ângulos de 90 º e 120 º, e apresenta uma geometria bipiramidal triangular, representada na figura a seguir:  Considerando tal estrutura molecular como um poliedro, ela apresenta:

Fulerenos: a alotropia versátil Os fulerenos (buckyballs, em inglês) foram detectados, pela primeira vez, em 2010, através do telescópio espacial Spitzer. Essas moléculas parecem muito com pequenas bolas de futebol compostas de 20, 60, 70, 100, 180, 240 e até 540 átomos de carbono. [...] O Spitzer voltou a encontrar essa espécie alotrópica do carbono, com a forma de um icosaedro truncado (sólido de Arquimedes com 12 faces pentagonais regulares e 20 faces hexagonais regulares), anteriormente conhecido como a molécula de buckminsterfulereno. Somando o volume total do conjunto de fulerenos encontrados, daria para preencher 10.000 vezes o volume que o monte Everest ocupa. A molécula tornou-se popular entre a comunidade de químicos, pela sua beleza e versatilidade na síntese de novos compostos químicos. De acordo com as informações apresentadas, o buckminsterfulereno tem