Raíces de Números Complejos
Para hallar las raíces de un número complejo se aplica la fórmula de Moivre, teniendo
en cuenta que para que dos complejos coincidan han de tener el mismo módulo y la
diferencia de sus argumentos ha de ser un múltiplo entero de 360º.
Sea Ra un número complejo y considérese otro complejo R'a', tal que
Ra = (R' a' )n = ((R' )n )n a'
Esto equivale a que (R’)^n = R, o lo que es lo mismo, que R’=n√R, y que
nα’= α+k*360°⇐⇒ α’= α⁄n + k*360/n, donde K es un número arbitrario. Es decir,
n^√Rα = (n^√R) α+k*360°/n
Al representar las raíces n-ésimas de un número complejo, como todas tienen el mismo módulo, se cumple que:
• Sus respectivos afijos están en una circunferencia de radio igual al módulo del radicando.
• Los afijos de las raíces n-ésimas son los vértices de un polígono regular de n lados inscrito en esa circunferencia.
El siguiente applet muestra la representación gráfica de la raíz n-ésima de 1. Utilizando la barra de muestreo puedes cambiar el radical de la raíz y observar los cambios que se producen en la representación (puedes obtener la medida de los ángulos utilizando la herramienta ‘ángulo’).
Si calculamos en primer lugar la raíz cuadrada de 1, √1, obtenemos dos soluciones ±1, es decir, si los pasamos a forma polar 1(0) y 1(180), observamos que corresponde con la representación gráfica (+1,-1).
Si probamos con radical 6, obtenemos los siguientes argumentos:
6^√1= 1(0)
α = 0+k*360°/6 con k= 0,1,2,3,4,5
α1= 60°
α2= 120 °
α3= 180 °
α4= 240 °
α5= 300 °
Por lo tanto cada raíz esta separada por 60 °
Haz tus propias comprobaciones con los siguientes raíces de 1:
• 3^√1
En este caso observarás que cada una de las raíces esta separada por 120 °
• 12^√1
En este caso observarás que cada una de las raíces esta separada por 30 °
Después de realizar el ejercicio, comprueba los resultados midiendo los ángulos con la herramienta correspondiente.