Brennpunkte Leitlinien: ein Versuch
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Leitlinien und Brennpunkte (September 2021)
In welchen Zusammenhängen treten Brennpunkte und Leitlinien auf? Konfokale Kurven in der Ebene oder konfokale Flächen im Raum setzen eine konforme Umgebung voraus. Das bedeutet: die Kurven bzw. Flächen bilden orthogonale Systeme. Das beruht auf Winkelmessung. Der einfachste Fall sind Kreisbüschel und ihre orthogonalen Kreisbüschel in der komplexen GAUSSschen Zahlenebene . Beschreiben lassen diese sich durch eine komplexe Diferentialgleichung des Typs mit . Die Grundpunkte , der Büschel lassen sich als "Brennpunkte" deuten. Dynamisch kann man die Brennpunkte als Quelle und Senke von Kreiswellen deuten, die sich längs der Kreise des orthogonalen Büschels bewegen. Vielleicht könnte man die Kreise des einen Büschels als Leitkreise deuten: entlang dieser werden Kreise des orthogonalen Büschels bewegt. Lösungen dieser Differentialgleichungen sind zB die komplexe Sinus- oder Cosinus-Funktion, geeignet transformiert. Komplex analythische Funktionen mit 3 einfachen Nullstellen der Ableitung können wir geometrisch nicht in diesem Zusammenhang deuten. Die nächst-höhere Stufe liefern die elliptischen Differentialgleichungen: . Die Lösungen - elliptische Funktionen - lassen sich interpretieren als die Überlagerung zweier Kreisbüschel oder Überlagerung der orthogonalen Büschel. Das kann auf verschiedene Weisen erfolgen. Man erhält wieder ein konfokales orthogonales Kurvensystem, Brennpunkte sind die Grundpunkte der möglichen Kreisbüschel , möglicherweise sind zusammenfallende dabei. Zu den Überlagerungen der Kreisbüschel gehören in den Schnittpunkten doppelt-berührende Kreise an die Lösungskurven. Spiegelt man einen ausgewählten Brennpunkt an den eine Lösungskurve doppelt-berührende Kreisen, so stellt man fest, dass die Spiegelpunkte auf einem Kreis, dem zugehörigen Leitkreis, liegen. Diese Leitkreise kann man umgekehrt zur Konstruktion der Kurvenpunkte und der doppel-berührenden Kreise verwenden. Im Raum mit einer konformen Struktur findet man ebenfalls konfokale paarweise orthogonale Flächensysteme. Diese besitzen paarweise orthogonale Symmetriekugeln. Wählt man diese durch geeignete Möbiustransformationen als Koordinaten-Ebenen, so erhält man in diesen die oben beschriebenen konfokalen Kurvensysteme aus bizirkularen Quartiken. Deren Symmetrieen setzen sich auf die Flächensysteme fort, auch der Typ der Quartiken bestimmt den Typ der Flächen. Es handelt sich um die längere Zeit vernachlässigten konfokalen Darboux Cycliden, zu denen die konfokalen Quadriken, Dupinsche Cycliden und Tori gehören. Im reichsten Falle besitzen diese Cycliden 5 Symmetrieen, 3*4 Brennpunkte und 3*2 Scharen von Kreisen auf den Cycliden. Diese entstehen als Schnitte der Cycliden mit doppelt-berührenden Kugeln, die sich ihrerseits aus den doppelt-berührenden Kreisen der bizirkularen Quartiken ergeben und konstruieren lassen - also wieder mit Hilfe der Leitkreise. Ob es konfokale Systeme mit einer größeren Anzahl von Brennpunkten gibt, und ob diese geometrischen Deutungen zugänglich sind, wissen wir nicht.********** z = x + i*y -> -> -> -> -> -> -> -> sin( x+ i*y ) *************
Oben werden konfokale Ellipsen und Hyperbeln mit der komplexen Sinus-Funktion dargestellt.
Die Kurven des Gitters werden mit der Sinus-Funktion auf die Kegelschnitte abgebildet.
Die Sinus-Funktion genügt der Differential-Gleichung mit den Nullstellen
der Ableitung, also den Brennpunkten +1, -1.
Die Sinus-Funktion ist einfach-periodisch.
Nach den komplex-analytischen Funktionen sin, cos, tan, exp ... scheinen uns die nächst-höhere Klasse elementarer
komplex-analytischen Funktionen die Lösungsfunktionen der elliptischen Differentialgleichungen - also
die elliptischen Funktionen zu sein. In Normalform handelt es sich um die elliptischen Differentialgleichungen
- , : 2-teilige Quartiken
- , : 1-teilige Quartiken