A solução.

Foi devido a Giuseppe Peano (1858 - 1932) a solução deste problema. Um esboço da ideia de Peano se encontra na figura abaixo. Partindo em ordem crescente, percebe-se que, inicialmente, se constrói uma figura bem básica e, a partir dela, irá moldá-la para menores. Claramente, este processo é finito na versão que é apresentada aqui; entretanto, se imaginar que este mesmo procedimento se repete indefinidamente, o quadrado irá ser preenchido sem que haja interseções na curva. Este desenvolvimento infinitesimal e, de certa forma periódico, é o que chamamos por fractal. A grosso modo, um fractal nada mais é do que você ampliar sua figura em algum ponto e perceber que, por mais ampliada que esteja, ela fica igual a figura total.