Demostración del volumen de la esfera
¿Quién determinó la fórmula para calcular el volumen de la esfera?
Arquímedes fue quien descubrió la fórmula para calcular el volumen de una esfera. Para calcularlo se imaginó una semiesfera, un cilindro y un cono de igual radio y altura, y se preguntó ¿Qué ocurría con las figuras al interceptarlas con un plano? En esta actividad realizaremos los pasos que utilizó Arquímedes para determinar y demostrar la fórmula.
Utiliza el deslizador de la derecha para ver cómo se comporta los sectores de la intercepción entre los cuerpos y el plano.
¿Qué figura obtenemos?
Lo primero que analizaremos será el círculo producido al interceptar el plano y el cilindro.
Al mover el deslizador, observa y responde:
1. El círculo en la intersección ¿Es siempre el mismo? 2. ¿Cuánto mide el radio? 3. ¿Cuál es el área del círculo?
Observando el círculo en la intersección entre el plano y el cono.
Al mover el deslizador observa y responde:
1. ¿El círculo tiene siempre igual radio? 2. ¿Cuál es la relación entre su radio y la distancia a la punta de cono? 3.¿Cuál es el área del círculo?
Tercero, observemos círculo de la intersección entre el plano y la semiesfera.
Al mover el deslizador, observa y responde:
1. Los círculos de la intersección ¿Tienen igual radio? 2. ¿Qué figura se figura entre el segmento rojo, fucsia y amarillo? 3. Si el trazo amarillo mide r ¿Cuál es el área del círculo? 4. ¿Cuál es la relación entre r, d y R? (Observe el triángulo que se forma).
A partir de la relación encontrada. Responda:
Si amplificamos la expresión por . 1. ¿Qué representa cada uno de los términos de la expresión resultante? Vea las secciones anteriores. 2. ¿Qué relación existe entre los volúmenes de las figuras? 3. ¿Cómo podemos escribir el volumen de la semiesfera a partir de los volúmenes del cilindro y el cono? 4. ¿Cuál sería el volumen de una esfera?