Inversión
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Una visión geométrica de las operaciones aritméticas.
Tal vez encontremos una explicación de esta ausencia en la incomodidad conceptual de los números negativos. Históricamente, este tipo de números (que Michael Stifel, en el siglo XVI, aunque hace uso de ellos, los sigue denominando numeri absurdi) aparecen muchos siglos después de que ya se operasen con soltura tanto los números naturales como las fracciones, en ambos casos estrechamente unidos al concepto de cantidad, pero también al de distancia o longitud. La aparición del número negativo añade una orientación, un sentido (como arriba o abajo, derecha o izquierda, norte o sur), del que carecía hasta entonces el concepto de número. Naturalmente, este sentido ya existía, pero como algo externo al número, no como parte de él.
Sabemos que existen procedimientos algebraicos para mostrar las reglas de signos ("negativo por negativo, es afirmativo", escribía ya Brahmagupta en el siglo VII). Por ejemplo, la siguiente transformación demuestra la coherencia de que el producto de dos números negativos resulte ser un número positivo:
(−1) 0 = 0 ⇒ (−1) (1 − 1) = 0 ⇒ (−1) 1 + (−1) (−1) = 0 ⇒ (−1) + (−1) (−1) + 1 = 0 + 1 ⇒ (−1) (−1) = 1
Pero, como hemos señalado, resulta chocante que recurramos a las construcciones sintéticas para facilitar la representación de algunos números reales, y no para representar las operaciones con ellos. Las operaciones con segmentos (o longitudes de segmentos) siguen estando presentes en el currículo escolar de Dibujo o Plástica Visual. Pero la introducción temprana en las clases de matemáticas de los números negativos, sin significado geométrico directo, hace necesaria una extensión de las operaciones numéricas a los casos negativos, algo que no sucede en las clases de Dibujo. Los programas de geometría dinámica, como GeoGebra, pueden ayudar en cubrir esta laguna. 2. Notación y puntos simétricos Sea O un punto cualquiera del plano y sea I otro punto del plano distinto de O. Si A es un punto cualquiera de la recta OI, dista una medida |OA| de O, tomando como unidad la distancia de I a O. Tradicionalmente, se elige un punto I situado a la derecha de O, de modo que la recta OI se representa como una horizontal. Podríamos expresar todas las construcciones de este artículo en solo en términos de O e I, pero esta elección conllevaría demasiados circunloquios. Para evitarlo, creemos preferible dar también por conocido, como ya hemos adelantado, el sistema de referencia cartesiano del plano. De este modo, podemos identificar O con el origen (0,0), I con el punto (1,0) y la recta OI con el EjeX (por emplear el mismo nombre que le otorga GeoGebra al eje de las abscisas). Llamaremos circunferencia unitaria a la circunferencia de centro O que pasa por I, es decir, la circunferencia, centrada en el origen, de radio unidad. Denotaremos siempre con la misma letra un punto cualquiera del EjeX y su correspondiente abscisa, usando mayúscula en el caso del punto y minúscula en el caso de la abscisa. Por ejemplo, el punto A tendrá por coordenadas (a, 0). Dado un punto A(a, 0) del EjeX, se define el valor absoluto de a, denotado como |a|, como la distancia |OA|. Dados dos puntos cualesquiera A y B, denotaremos como |AB| a la distancia entre ellos (veremos más adelante que esta distancia corresponde a |a – b|). Denotaremos como A' al punto simétrico de A respecto a O. Con GeoGebra:A' = Refleja(A, (0,0))
Esta transformación geométrica equivale, algebraicamente, a un cambio de signo de la abscisa de A, es decir, la abscisa de A' es –a. De hecho, dado que GeoGebra puede sumar, restar o multiplicar A y B como si fuesen los vectores de posición y , también podríamos definir A' como:A' = –A
Finalmente, siempre que A no coincida con O, denotaremos como A-1 al punto simétrico de A respecto a la circunferencia unitaria. Con GeoGebra:A-1 = Refleja(A, Circunferencia((0,0), 1))
Algebraicamente, esta transformación equivale a invertir la abscisa de A, es decir, la abscisa de A-1 es a-1. La siguiente construcción muestra que esto es así como consecuencia del teorema de la altura. Si llamamos x a la abscisa de A-1, este teorema garantiza que h2 = |x| (|a| – |x|). Como h2 + x2 = 1, se deduce que |x| = 1/|a|.Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.