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Was f über f' verrät... - Teil I

Betrachte die Funktionen in der Grafik:
  • Der Punkt P hat die x-Koordinate a (a kann mit dem Schieberegler variiert werden: einfach am Schieberegler ziehen!)
  • Der Punkt P hat die y-Koordinate f(a), d.h. P(a|f(a)) liegt immer auf dem Graphen von f und "wandert" beim Varriieren des Schiebereglers auf dem Funktionsgraphen von f entlang. (Mache dir das klar!!)
  • Die Gerade ga ist die Tangente an f an der Stelle a, also im Punkt P(a|f(a)) (Mache dir das klar!!)

1. Aufgabe

Gib die Intervalle (bzw. Stellen) auf der x-Achse an, (also Intervalle für a!), in denen g positive, negative (bzw. keine) Steigung hat!
Dort wo g positive (negative) Steigung hat, sagt man, dass der Graph von f steigt (fällt). Etwas genauer heißt das:
  • nehmen die Funktionswerte (f(x)) mit wachsenden x-Werten zu, wächst (oder steigt) die Funktion dort streng monoton. Anders formuliert: "Wird mein x-Wert größer, so wird auch der y-Wert größer." Mathematisch formuliert: Für streng monoton wachsende Funktionen gilt: x1<x2 f(x1)<f(x2). (Mache dir das klar!!)
  • nehmen die Funktionswerte mit wachsenden x-Werten ab, fällt die Funktion dort streng monoton. Anders forumliert: "Wird mein x-Wert größer, werden meine y-Werte kleiner." Mathematisch formuliert: Für streng monoton fallende Funktionen gilt: x1<x2 f(x1)>f(x2). (Mache dir das klar!!)
Für die Steigung ma der Tangente ga an der Stelle a gilt bekanntlich: ma=f'(a), d.h. der Punkt A(a|f'(a))=A(a|ma) liegt auf dem Graphen von f'! (Mache dir das klar!!)

2. Aufgabe

Gib mindestens 4 Punkte P1, P2, P3 und P4 an, die auf dem Graphen der Ableitungsfunktion f' liegen, indem du ma für verschiedene (geeignete) Werte von a bestimmst (-durch Ablesen in der Grafik).

3. Aufgabe - ergänze die Lücken

Es gilt also:
  • Ist die Tangentensteigung ma für die Tangente an einer Stelle a positiv, so hat die Ableitungsfunktion dort einen Punkt mit einem _________________ y-Wert. Der Punkt liegt also ___________ der x-Achse.
  • Ist die Tangentensteigung ma für die Tangente an einer Stelle a negativ, so hat die Ableitungsfunktion dort einen Punkt mit einem _________________ y-Wert. Der Punkt liegt also ___________ der x-Achse.
  • Ist die Tangentensteigung ma für die Tangente an einer Stelle a null, so hat die Ableitungsfunktion dort einen Punkt mit y-Koordinate ______________. Der Punkt ist also eine __________________________________ .
Intervalle sind Bereiche auf der x-Achse.

4. Aufgabe

  • Markiere auf der x-Achse mit grün (mit rot) die Intervalle, in denen f streng monoton wachsend (streng monoton fallend) ist.
  • Die Stellen, an denen f'(x)=0 gilt, markierst du blau.
  • Trage die Punkte P1 - P4 ein.
Wir haben den Zusammenhang zwischen der Tangentensteigung (an f) und den Funktionswerten der Ableitungsfunktion (f') geklärt. Dieser Zusammenhang wird im Monotoniesatz festgehalten: Wenn für alle x aus einem Intervall I gilt:
  • f'(x)>0, dann ist f streng monoton wachsend in I.
  • f'(x)<0, dann ist f streng monoton fallend in I.
(f muss hierfür auf I differenzierbar sein)

5. Aufgabe

Skizziere mit diesen Erkenntnissen den Graph der Ableitungsfunktion! Wenn du fertig bist, klicke hier