Cirkelinversie en cirkelspiegeling
Cirkelinversie
Definitie:
A' is het beeld van de cirkelinversie van punt A met de cirkel c middelpunt M en straal r
<=>
r² = |AM| * |A'M|
Het cirkelinversiebeeld van een rechte is een cirkel. Deze cirkel gaat door M en bevindt zich aan de zijde van de rechte. Hoe verder de rechte van de cirkel verwijderd is, hoe kleiner de cirkel. Wanneer de rechte zich deels binnen de cirkel c bevindt, blijft het beeld een cirkel maar bevindt het zich voor dat deel buiten cirkel c.
Logischerwijze is het beeld van een lijnstuk een cirkelboog. Deze ligt op het beeld van de rechte waardoor het lijnstuk gedragen wordt.
Het beeld van een cirkel is opnieuw een cirkel. Opmerkelijk is dat het beeld van het middelpunt niet in het midden ligt van de beeldcirkel. Het is verschoven naar middelpunt M toe. Als de cirkel buiten cirkel c ligt, ligt het beeld erbinnen en is kleiner. Als de cirkel binnen cirkel c ligt, ligt het beeld erbuiten en is groter.
Het beeld van een cirkelboog is ook opnieuw een cirkelboog. Deze ligt op het beeld van de cirkel waardoor de cirkelboog gedragen wordt.
Een veelhoek die over cirkel c geïnverteerd wordt, behoudt noch zijn rechte zijden, noch zijn hoeken. Ligt de veelhoek buiten cirkel c, dan is het beeld verkleind. Ligt de veelhoek binnen cirkel c, dan is het beeld vergroot. De oriëntatie van de opeenvolgende hoeken en zijden is nog terug te vinden maar is omgedraaid.
Cirkelspiegeling
Definitie:
Het beeld van de cirkelspiegeling van A over cirkel c is A'.
<=> |Ac| = |cA'|
De afstand van punt A tot cirkel c wordt gemeten volgens de rechte die door middelpunt M en punt A loopt. M.a.w. is deze afstand dus gelijk aan de afstand van punt A naar het snijpunt P van deze rechte met cirkel c.
<=> |AP| = |PA'|
Beeld van een rechte:
Als je het beeld van een rechte op oneindig bekijkt, lijkt het ook weer een rechte te zijn. Dit beeld is min of meer evenwijdig aan de oorspronkelijke rechte. Wanneer we in de omgeving van cirkel c gaan kijken, kunnen de volgende fenomenen zich voordoen:
- Als de afstand van de rechte tot de cirkel c groter is dan de diameter van cirkel c, ligt het beeld volledig buiten cirkel c en buigt het lichtjes naar cirkel c toe.
- Als de afstand van de rechte tot de cirkel c kleiner is dan de diameter van cirkel c, maar groter dan straal r, komt de buiging cirkel c binnen en wordt scherper.
- Als de afstand van de rechte tot de cirkel c gelijk is aan straal r, gaat de buiging doorheen middelpunt M.
- Als de afstand van de rechte tot de cirkel c kleiner is dan straal r, maakt het beeld een lus doorheen middelpunt M. De lus wordt groter naarmate de rechte dichter bij het middelpunt komt en gaat buiten de cirkel c als een deel van de rechte binnen de cirkel ligt.
De beelden van twee evenwijdige rechten lijken op oneindig ook evenwijdig. De beelden van twee loodrechte rechten lijken ook loodrecht op elkaar te staan.
Het beeld van een lijnstuk ligt op het beeld van de rechte die het lijnstuk draagt.
Beeld van een cirkel:
Ook het beeld van een cirkel kan verschillende vormen aannemen. We bekijken opnieuw het beeld in functie van de afstand die de cirkel heeft tot cirkel c.
- Als de afstand van de cirkel tot cirkel c groter is dan de diameter van cirkel c, ligt het beeld volledig buiten cirkel c. Het beeld is eivormig en de scherpst gebogen kant wijst naar middelpunt M.
- Als de afstand van de cirkel tot cirkel c kleiner is dan de diameter van cirkel c, maar nog groter dan straal r, komt het beeld cirkel c binnen. De scherpe kant wordt nog scherper.
- Als de afstand van de cirkel tot cirkel c gelijk is aan staal r, wordt de scherpe kant puntvormig en bevindt zich op middelpunt M.
- Als de afstand van de cirkel tot cirkel c kleiner is dan de straal, maar de zijde van de cirkel komt nog niet over middelpunt M, dan vormt het beeld een dubbele lus met knooppunt door M.
- Als de zijde van de cirkel over middelpunt M komt, en M ligt dus binnen de cirkel, vormt het beeld zich rondom cirkel c.
- Als het middelpunt van de cirkel op middelpunt M van cirkel c ligt, zijn cirkel c, de startcirkel én zijn beeld concentrische cirkels.
De beelden van twee concentrische cirkels zijn gelijkvormig maar verschillen in grootte.
Het beeld van een cirkelboog ligt op het beeld van de cirkel die de cirkelboog draagt.
Cirkelspiegeling
Definitie:
Het beeld van de cirkelspiegeling van A over cirkel c is A'.
<=> |Ac| = |cA'|
De afstand van punt A tot cirkel c wordt gemeten volgens de rechte die door middelpunt M en punt A loopt. M.a.w. is deze afstand dus gelijk aan de afstand van punt A naar het snijpunt P van deze rechte met cirkel c.
<=> |AP| = |PA'|
Beeld van een rechte:
Als je het beeld van een rechte op oneindig bekijkt, lijkt het ook weer een rechte te zijn. Dit beeld is min of meer evenwijdig aan de oorspronkelijke rechte. Wanneer we in de omgeving van cirkel c gaan kijken, kunnen de volgende fenomenen zich voordoen:
- Als de afstand van de rechte tot de cirkel c groter is dan de diameter van cirkel c, ligt het beeld volledig buiten cirkel c en buigt het lichtjes naar cirkel c toe.
- Als de afstand van de rechte tot de cirkel c kleiner is dan de diameter van cirkel c, maar groter dan straal r, komt de buiging cirkel c binnen en wordt scherper.
- Als de afstand van de rechte tot de cirkel c gelijk is aan straal r, gaat de buiging doorheen middelpunt M.
- Als de afstand van de rechte tot de cirkel c kleiner is dan straal r, maakt het beeld een lus doorheen middelpunt M. De lus wordt groter naarmate de rechte dichter bij het middelpunt komt en gaat buiten de cirkel c als een deel van de rechte binnen de cirkel ligt.
De beelden van twee evenwijdige rechten lijken op oneindig ook evenwijdig. De beelden van twee loodrechte rechten lijken ook loodrecht op elkaar te staan.
Het beeld van een lijnstuk ligt op het beeld van de rechte die het lijnstuk draagt.
Beeld van een cirkel:
Ook het beeld van een cirkel kan verschillende vormen aannemen. We bekijken opnieuw het beeld in functie van de afstand die de cirkel heeft tot cirkel c.
- Als de afstand van de cirkel tot cirkel c groter is dan de diameter van cirkel c, ligt het beeld volledig buiten cirkel c. Het beeld is eivormig en de scherpst gebogen kant wijst naar middelpunt M.
- Als de afstand van de cirkel tot cirkel c kleiner is dan de diameter van cirkel c, maar nog groter dan straal r, komt het beeld cirkel c binnen. De scherpe kant wordt nog scherper.
- Als de afstand van de cirkel tot cirkel c gelijk is aan staal r, wordt de scherpe kant puntvormig en bevindt zich op middelpunt M.
- Als de afstand van de cirkel tot cirkel c kleiner is dan de straal, maar de zijde van de cirkel komt nog niet over middelpunt M, dan vormt het beeld een dubbele lus met knooppunt door M.
- Als de zijde van de cirkel over middelpunt M komt, en M ligt dus binnen de cirkel, vormt het beeld zich rondom cirkel c.
- Als het middelpunt van de cirkel op middelpunt M van cirkel c ligt, zijn cirkel c, de startcirkel én zijn beeld concentrische cirkels.
De beelden van twee concentrische cirkels zijn gelijkvormig maar verschillen in grootte.
Het beeld van een cirkelboog ligt op het beeld van de cirkel die de cirkelboog draagt.
Beeld van een veelhoek:
Bij de cirkelspiegeling van een veelhoek wordt nog vorm, nog grootte bewaard.
De beelden van alle punten die op een afstand van de cirkel liggen die gelijk is aan r, liggen op middelpunt M.
Het beeld van al wat buiten de cirkel ligt wordt verkleind. Het beeld van al wat binnen de cirkel ligt wordt vergroot.
Wanneer de figuur over middelpunt M ligt, bevindt het beeld zich over en rond de cirkel.
De oriëntatie van de opeenvolgende hoeken en zijden is nog moeilijk terug te vinden.