E12 Szembe jött az utcán...
Egy kis előzetes
Aki szívesen töri a fejét egy-egy matematikai problémán, azzal néha előfordul, hogy a megoldásához szüksége lenne valamilyen részfeladat eredményére, ahol ez a részfeladat esetleg egy önálló, addig sehol nem látott problémává terebélyesedik. Az igazán szép feladat ilyen, amelyet még sehol nem olvastunk, nem is tudjuk, mennyire nehéz, azt sem, hogy másutt felvetődött-e már. Az ilyenre szokás azt mondani, hogy "szembe jött az utcán". Nos, ez szembe jött. :-)
A probléma:
Legyen adott csúcsaival az ABCΔ , továbbá két pontjával egy olyan e egyenes, amely a háromszög a=(BC), b=(CA) és c=(AB) oldalegyeneseit rendre a P1, Q1, R1 pontokban metszi! Legyen ezeknek a háromszög BC, CA, AB oldalak Fa ,Fb, Fc felezőpontjaira vonatkozó tükörképe rendre P2, Q2 és R2 !
Milyen kapcsolat fedezhető fel ezek között a pontok között?
Mutassuk meg ...
A "Mutassuk meg..." kezdetű felszólító mondat a matematikai szóhasználatban általában a "Bizonyítsuk be..." szinonímiája. Jelen esetben azonban inkább "Szemléltessük..." értelemben használva a GeoGebra eszköztárának a lehetőségeire hívjuk fel olvasóink figyelmét.
Úgy tűnik, hogy a P2 , Q2, R2 pontok egy egyenesre illeszkednek( másképpen: kollineárisak). A (P2,Q2) egyenest megrajzolva kicsit megerősíthetjük ezt a sejtésünket. A kapott sejtést tovább mélyítheti, ha a dinamikus geometria lehetőségeit kihasználva kissé megmozgatjuk a feladat bemenő adatait: az A, B, C pontokat, vagy az e egyenest.
Erősebb sejtést kaphatunk pl. ezzel a logikai értéket előállító GeoGebra paranccsal: Távolság(R_2,Egyenes(P_2,Q_2))≟0 . Ugyanis ez a válasz 13 tizedesjegynyi pontosságú számolás eredményeként jött létre. Ettől persze a sejtésünk továbbra is csak sejtés marad.
E kérdésre adható, bárkit meggyőző, egyértelmű választ azonban továbbra is, az analitikus-, vagy elemi geometriai bizonyítás jelentené. Az általános paraméterekkel megadott analitikus geometriai válasz olykor hosszadalmas számolás eredményeként jön létre. Ezt a terhet azonban, - ha nem is minden esetben - a GeoGebra is le tudja venni a vállunkról Ugyanúgy, mint a "nagy" számítógép algebrai rendszerek (CAS)
A "Biztosan?" gombra kattintva aktivizálható a Kapcsolat({P_2,Q_2,R_2}) parancs, amely várhatóan az alábbi válaszokat adja:
A fenti fájlt letöltve - és offline üzeemmódban futtatva - ugyanez a válasz ebben a formában jelenik meg:
Megjegyezzük, hogy a Kapcsolat() parancs vagy két geometriai objektum. pl. pont, egyenes, kör, vagy -mint jelen esetben - egy lista lehet, amely most három vizsgált pont listája.
A Symbolical chech - szimbolikus ellenőrzés - a GeoGebra programrendszer folytonos fejlesztésének egy újabb eredménye, amely a geometriai kapcsolatok közötti, az alakzatok numerikus adatait mellőző - elemi geometriai tételeken alapuló teljes értékű gépi bizonyítása. Hasonólan ahhoz, ahogy agy-egy elemi geometriai összefüggést "szoktunk" igazolni.
Bonyolultabb (??) esetben, pl. a Desarques tétel állítását megfogalmazva, ha a program belátható időn belül nem tud válaszolni, akkor a "bővebben..." kérdésre nem ad választ, így meg kell elégednünk a "numerikusan ellenőrzött" válasszal, ami azonban így is több, mint megbízható.
Sejtésünk elemi geometriai igazolásához szükségünk lesz néhány olyan fogalomra és tételre, amely ugyan nem része a a középiskolai matematika törzsanyagnak, de az emelt szintű matematika órákon könnyen szóba kerülhet.
Előkészítés
Egy egyenesnek azzal adunk irányítást, hogy kijelölünk rajta egy félegyenest, megadva a kezdőpontját és egy belső pontját. Pl. [A,B) az A kezdőpontú B-t tartalmazó félegyenest jelenti. (Újabban az ]A,B) jelölés az elfogadott.) Egy egyenes két félegyenese egyirányú, ha egyik tartalmazza a másikat. Ha két félegyenes tartó egyenesei párhuzamosak, akkor abban az esetben egyirányúak, ha a kezdőpontjaikra illeszkedő egyenesnek ugyanabba a félsíkjába esnek.
Az (A,B) egyenes [A,B) félegyenesével megadott irányított egyenesen felvett CD szakaszt akkor tekintjük pozitívnak, az [A,B) és [C.D) félegyenesek egyirányúak. Azt mondjuk, hogy a CD irányított szakasz kezdőpontja C, végpontja D.
Ha egy egyenes valamely A pontjához hozzárendeljük a 0-t, B (≠A) pontjához az 1-et, akkor ezzel az egyenes bármely szakaszához hozzárendelhetünk egy számot, amit a szakasz mérőszámának - hosszának - nevezünk, ha teljesül, hogy az egybevágó szakaszok hossza egyenlő, továbbá ha egy szakaszt egy belső pontjával felbontunk két szakaszra, akkor a részek hosszának az összege megegyezik az eredeti szakasz hosszával.
Ezt a hozzárendelést a GeoGebra is megteszi: egy szakasz neve magát a szakasz hosszát is jelenti a rajzlap koordinátarendszerében mérve.
Az egy egyenesre illeszkedő Irányított szakaszok előjeles hosszán az irányítással ellátott szakaszok hosszát értjük. Az irányított szakaszok hányadosa a mérőszámaik hányadosát jelenti.
Ezek a talán szőrszálhasogatásnak tűnő előkészítő fogalmak szükségesek az alábbi definíciók kimondásához:
Definíció:
Legyen adott az A és B pont! Az (AB) egyenes valamely C ≠B pontjának az A és B alappontokra vonatkozó osztóviszonyán az AC és CB irányított szakaszok előjeles hányadosát értjük amelyet (ABC)-vel jelölünk:
..
Az (ABC) osztóviszony értéke nem függ sem az egyenes irányításától, sem a mértékegység megválasztásától.
A GeoGebra parancsai között nincs ott az osztóviszony, helyette a - talán praktikusabb - affin osztóviszony fogalma szerepel:
Definíció:
A kollineáris A, B, C pontok affin osztóviszonyán az hányadost értjük, ahol A ≠B .
Így az A → 0, B→1 hozzárendeléssel olyan számegyenest kapunk, ahol a c=AffinOsztóviszony(A,B,C) GeoGebra parancs azt a c számot állítja elő, amelyre AC=c, ahol c>0, ha a C pont illeszkedik az A kezdőpontú B belső pontú [A,B) félegyenesre.
A C→ c hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű. Ha a c szám adott akkor a C=Nyújtás(B,c,A), vagy a C=(1-c) A +c B paranccsal kaphatjuk meg azt a C pontot, amelyre c=AffinOsztóviszony(A,B,C). (Olvadóinkra bízzuk annak a belátását, hogy ez a két parancs ugyanazt a pontot állítja elő.)
Ha adott egy egyenesen az A, B és C pont, és A ≠B akkor az (ABC) osztóviszony kifejezhető e három pont affin osztóviszonyával.