17.1. Hipérbole: Forma canônica
Objetivo: Observar a equação da Hipérbole ao mudar a posição de seus focos.
Um pouco de teoria. Uma hipérbole de Focos e e constante é por definição o conjunto de pontos tais que
onde necessariamente devemos tomar maior que a distância entre os focos. Denotemos por a distância entre os focos. Alguns elementos da hipérbole são:
Reta focal: Reta que contém os focos.
Vértices de hipérbole ( e ) : Interseção da hipérbole com a reta focal.
Eixo focal: Segmento
Centro da hipérbole: Ponto médio do segmento determinado pelo eixo focal.
Reta não focal: Reta perpendicular à reta focal passando pelo centro da hipérbole.
Eixo não focal: Segmento cujo ponto médio é centro da hipérbole, é perpendicular ao eixo focal e tem comprimento onde
Retângulo base: Retângulo cujos lados tem e como pontos médios (retângulo marrom na figura).
Assíntotas: Retas que contem as diagonais do retângulo base.
Prova-se que o segmento tem comprimento , as diagonais do retângulo base tem comprimento , a distância do centro aos focos é , a distância do centro aos vértices é e as assíntotas tem inclinação em relação à reta focal.
Excentricidade da hipérbole: . Note-se que sempre .
A equação de uma hipérbole é uma forma quadrática que no caso particular de ter sua reta focal paralela a um dos eixos coordenados terá uma expressão do tipo
ou
Estas equações são conhecidas como as formas canônicas da hipérbole. Nesse casos (x0,y0) é a coordenada do centro da hipérbole. No applet apresentado ao escolher a posição dos focos você poderá visualizar a equação da respectiva hipérbole. Repare que ao conseguir que a reta focal seja paralela a um dos eixos coordenados teremos uma das formas canônicas descrita acima. Nos outros casos temos a forma geral da equação da hipérbole (forma quadrática). Obs: O applet arredonda os valores então existe uma aproximação e a equação poderá ser uma aproximação da equação exata.