Quesito 3 matematica A27 concorso 1984
È data l'equazione differenziale a variabili separate
L'equazione si può riscrivere nella forma
Per risolverla calcoliamo le primitive F(x) della funzione al numeratore e G(y) della funzione al denominatore.
La soluzione dell'equazione è G(y) = F(x) + c.
Risolviamo i due integrali e verifichiamo che in questo caso abbiamo due soluzioni:
Viene chiesto di studiare la famiglia di curve ottenute.
Le funzioni sono definite solo se l'espressione sotto radice è positiva. Inoltre osserviamo che il termine
è sempre positivo e minore o uguale a due. Affinché le funzioni siano definite la costante c deve essere quindi maggiore o uguale a -2.
Per c maggiore di 0 entrambi i termini sotto radice sono positivi e la funzione è definita su tutto R. Per c minore di 0 la funzione è definita solo se il primo termine è maggiore di c, quindi solo se x è compresa fra
e
Questi due valori corrispondono anche all'intersezione delle funzioni con l'asse x.
Per c=0 la funzione è definita solo in (0,0).
Per c>0 le funzioni non intersecano l'asse x.
Le due funzioni sono ovviamente simmetriche rispetto all'asse x e osserviamo che entrambe sono simmetriche rispetto all'asse y (f(-x) = f(x) ).
Il limite per x che tende a infinito è:
per c>0 le funzioni hanno un asintoto orizzontale.
Studiando il segno della derivata ed eguagliandola a 0 osserviamo che la funzione positiva ha un massimo in x=0 e quella negativa un minimo in x=0, y=.
Disegno quindi la funzione con c variabile fra -2 e 5 (non c'è un limite superiore, i valori usati sono solo di esempio).