I quadrilateri inscritti
TEOREMA
Gli angoli opposti di un quadrilatero inscritto in una circonferenza sono supplementari.
DIMOSTRAZIONE
Congiungiamo A e C con O, centro della circonferenza
Si formano due angoli al centro b1e d1
b e d sono angoli alla circonferenza che insistono sugli stessi archi su cui insistono rispettivamente b1 e d1, quindi:
2bB1, 2d d1
Sommiamo membro a membro: 2b + 2d b1+d1
Essendo b1 + d e raccogliendo il fattore 2 al primo membro:
Congiungiamo B e D con O e ripetiamo le stesse considerazioni
Il teorema precedente è una condizione necessaria per l’inscrivibilità di un quadrilatero in una circonferenza.
Si può dimostrare anche il teorema inverso, ossia la condizione sufficiente.
TEOREMA 2
Se un quadrilatero ha gli angoli opposti supplementari allora è inscrivibile in una circonferenza.
DIMOSTRAZIONE
Dobbiamo dimostrare che la circonferenza passante per B, C e D passa anche per A.
Ragioniamo per assurdo. Se, per assurdo, la circonferenza per B, C e D non passa per A, si hanno due casi possibili.
Osservando le figure notiamo che:
perchè angoli opposti in un quadrilatero inscritto in una circonferenza
per ipotesi
Quindi BED e BAD sono congruenti, perché supplementari dello stesso angolo. D’altra parte, essi sono angoli corrispondenti fra le rette DA e DE, tagliate dalla trasversale AE. Le rette DA e DE, avendo angoli corrispondenti congruenti, risultano parallele, e ciò è in contraddizione con il fatto che hanno in comune il punto D. Quindi la circonferenza deve passare anche per il punto A.
TEOREMA 3
Condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero sia inscrivibile in una circonferenza è che abbia gli angoli opposti supplementari.