Conjuntos de nivel y perpendicularidad del grandiente
Conjuntos de nivel. Visualización del vector gradiente.
Conjuntos de nivel.
El conjunto de nivel de una función de varias variables a nivel es el conjunto de puntos de su dominio dónde toma el valor . Formalmente,
Conjunto de nivel de a nivel =
donde es el dominio de . Usualmente se escribe como o . Otra forma de decir esto es que el conjunto de nivel es la preimagen del valor por la función , es decir .
Hagámos algunas consideraciones dependiendo del número de variables de la función.
Para funciones de una variable , el conjunto de nivel es típicalmente un conjunto discreto de puntos. Aquí típicamente quiere decir que la aseveración es correcta para la mayoría de los niveles que consideremos.
Por ejemplo el conjuntos de nivel de a nivel , es el conjunto , o la raíces de . Concretamente:
- Si el conjunto de nivel consiste de los puntos .
Si consiste solamente del punto
Si es igual al conjunto vacío, el conjunto de nivel no tiene puntos.
Para funciones de dos variables diferenciables, los conjuntos de nivel son típicamente curvas. Por esa razón, se los denominan habitualmentecurvas de nivel aunque estríctamente hablando no tienen porqué ser curvas. Aquí, nuevamente, típicamente quiere decir para la "mayoría" de los niveles. En algunas instancias y para algunos niveles, el conjunto de nivel puede ser una curva con autointersecciones, puede ser un punto, o puede ser vacío (o puede ser algo peor!).
Ejemplo. Debajo se estudian las curvas de nivel de la función . Cuando el nivel no es cero, las curvas de nivel son hipérbolas. Cuando el nivel es cero el conjunto de nivel es la union de dos rectas que se intersectan, la recta y la recta . Veremos luego que situaciones así indican la presencia de puntos críticos en el conjunto de nivel (¿Denominaría al conjunto de nivel xy=0, como un curva?).
Debajo: En celeste se despliega el plano a nivel y la curva de nivel a ese nivel . En rojo se muestra el vector gradiente en punto de dicha curva de nivel. En negro se muestra la intersección del plano de nivel con el gráfico. La proyección de dicha curva sobre el plano x-y es la curva de nivel celeste. En verde se ve la familia de curvas de nivel.