O Gráfico de uma Função Linear
O tipo de equação mais simples que podemos encontrar é uma equação linear em e ,
,
onde , e são constantes e e não são ambos nulos. Se , temos uma equação da forma , que é satisfeita por todos os pontos de uma reta vertical. Se , podemos isolar a variável em função de , de modo queEsses coeficientes e têm uma interpretação simples. Quando , , ou seja, o coeficiente linear é exatamente o ponto de interseção do gráfico da equação com o eixo das ordenadas. Por outro lado, se é um ponto do gráfico e buscarmos o ponto que está uma unidade a sua direita, temos que
isto é, para cada acréscimo de uma unidade em , varia em unidades (aumentando ou diminuindo conforme o sinal de ). Dessa forma, o gráfico da equação é uma reta cuja inclinação com relação ao eixo das abscissas é medido pelo coeficiente , o coeficiente angular da reta. A figura interativa abaixo ilustra vários aspectos da função afim , em particular como podemos determinar os valores de e a partir das coordenadas de dois pontos sobre a reta.
Exercícios
Encontre a equação da reta que passa pelos pontos dados
- e
- e
- e
- e
- e
- e
Inequações Polinomiais
A interpretação geométrica das equações lineares nos ajuda a resolver problemas que envolvam inequações. Considere, por exemplo, o gráfico da função .
Vemos que à direita da raiz a funcão assume valores positivos (em azul) e à esquerda valores negativos (em vermelho). Isso ocorre porque o coeficiente angular é positivo, o que significa que a cada acréscimo de uma unidade da variável , a variável aumenta em 3 unidades. Por outro lado, a função y=-2x+3 assume valores negativos à direita da raiz e positivos à esquerda, pois o coeficiente angular agora é negativo:
Agora vamos estudar o sinal da função , ou seja, determinar os intervalos onde ela assume valores positivos e os intervalos onde ela assume valores negativos. No presente caso, o processo é simplificado porque já conhecemos a função na forma fatorada. Em geral, teríamos que encontrar uma fatoração previamente. A ideia agora é estudar o sinal de cada fator separadamente e depois aplicar a "regra dos sinais"
para determinar o sinal do produto:
Assim, é positiva no intervalo e negativa no conjunto . Podemos aplicar esse raciocínio para qualquer função polinomial, basta conhecer uma fatoração. Como a regra dos sinais se aplica igualmente a operação de divisão, podemos também estudar o sinal de quocientes de polinômios (as chamadas funções racionais).
Exercícios
Resolva as seguinte inequações: