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... und andere "Loxodrome" - 2 -: Dv

Auteur :Walter Füchte

Doppelverhältnis als Funktion

Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books "Loxodrome" ? Oder nicht ? (18.12.2019)

Wir haben auf der Seite zuvor eine Definition für "Loxodrome" versucht:
  • Loxodromen sind die Kurven, welche ein orthogonales Kurven-Netz unter einem konstanten Winkel schneiden.
Insbesondere kann man dann für jede komplex-differenzierbare Funktion die Loxodrome untersuchen. Dazu gehören viele interessante Kurvenscharen: siehe das Kapitel "Spezielle komplexe Funktionen" im geogebra-book Moebiusebene. Im Applet oben ist die komplex-differenzierbare Funktion dargestellt, welche zu 3 vorgegebenen Punkten jedem das Doppelverhältnis (s.o) zuordnet. Diese von der Reihenfolge abhängige Invariante der 4 Punkte hat interessante Eigenschaften: die Lage von in Beziehung zu ist durch eindeutig bestimmt:
  • das Doppelverhältnis ist genau dann reell, wenn auf dem Kreis durch liegt. bildet diesen Kreis auf die reelle Achse ab; insbesondere ist .
  • das Doppelverhältnis ist genau dann vom Betrag 1, d.h. , wenn auf dem von auf gefällten Mittellot-Kreis liegt! liegt dann also auf dem Einheitskreis!
  • das Doppelverhältnis ist genau dann rein imaginär, wenn auf dem zu orthogonalen Kreis durch liegt. liegt dann auf der -Achse!
Der Mittellot-Kreis eines Punktes auf zwei Punkte ist der eindeutig bestimmte Kreis durch , zu welchem die Punkte spiegelbildlich liegen. Dieser Mittellot-Kreis ist orthogonal zu allen Kreisen durch . Die Funktion bildet die achsenparallelen Geraden auf die Kreise zweier orthogonalen parabolischen Kreisbüschel ab. Geraden mit der Steigung schneiden die Bilder der zur Achse parallelen Geraden unter dem Winkel . Diese "Loxodrome" sind - wenig spektakulär - ebenfalls Kreise. Der einfache Grund: ist eine Möbiustransformation, und daher kreis- und winkeltreu! Zur Definition von "Loxodromen" siehe auch die Seiten Torusloxodrome und ...und andere: ln.

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