... und andere "Loxodrome" - 2 -: Dv
Doppelverhältnis als Funktion
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books "Loxodrome" ? Oder nicht ? (18.12.2019)
Wir haben auf der Seite zuvor eine Definition für "Loxodrome" versucht:
- Loxodromen sind die Kurven, welche ein orthogonales Kurven-Netz unter einem konstanten Winkel schneiden.
Insbesondere kann man dann für jede komplex-differenzierbare Funktion die Loxodrome untersuchen. Dazu gehören viele interessante Kurvenscharen: siehe das Kapitel "Spezielle komplexe Funktionen" im geogebra-book Moebiusebene.
Im Applet oben ist die komplex-differenzierbare Funktion dargestellt, welche zu 3 vorgegebenen Punkten jedem das Doppelverhältnis (s.o) zuordnet. Diese von der Reihenfolge abhängige Invariante der 4 Punkte hat interessante Eigenschaften: die Lage von in Beziehung zu ist durch eindeutig bestimmt:
- das Doppelverhältnis ist genau dann reell, wenn auf dem Kreis durch liegt. bildet diesen Kreis auf die reelle Achse ab; insbesondere ist .
- das Doppelverhältnis ist genau dann vom Betrag 1, d.h. , wenn auf dem von auf gefällten Mittellot-Kreis liegt! liegt dann also auf dem Einheitskreis!
- das Doppelverhältnis ist genau dann rein imaginär, wenn auf dem zu orthogonalen Kreis durch liegt. liegt dann auf der -Achse!
Der Mittellot-Kreis eines Punktes auf zwei Punkte ist der eindeutig bestimmte Kreis durch , zu welchem die Punkte spiegelbildlich liegen.
Dieser Mittellot-Kreis ist orthogonal zu allen Kreisen durch .
Die Funktion bildet die achsenparallelen Geraden auf die Kreise zweier orthogonalen parabolischen Kreisbüschel ab.
Geraden mit der Steigung schneiden die Bilder der zur Achse parallelen Geraden unter dem Winkel .
Diese "Loxodrome" sind - wenig spektakulär - ebenfalls Kreise.
Der einfache Grund: ist eine Möbiustransformation, und daher kreis- und winkeltreu!
Zur Definition von "Loxodromen" siehe auch die Seiten Torusloxodrome und ...und andere: ln.