La inversión
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra La fábrica de teselados.
¿Se puede abarcar el infinito? En cierto modo, sí, gracias a la "inversión". Por ejemplo, todos los números naturales caben en el intervalo (0,1]. Las dos ramas infinitas de una hipérbola caben en el disco unidad.
Nuestra fábrica no solo es capaz de trasladar múltiples veces el azulejo fundamental, sino que también puede invertirlo, es decir, reflejarlo en una circunferencia, después de trasladarlo.
Se denomina inversión a una transformación geométrica, resultado de reflejar cada punto en la circunferencia unidad.
Si un punto está situado en el eje de las abscisas, esto es, es de la forma (x, 0), el resultado de la inversión será el punto (1/x, 0). Dicho de otro modo, la inversión geométrica coincide con la inversión aritmética de los números reales.
Si un punto está situado en el plano, esto es, es de la forma (x, y), entonces representa al número complejo x + y ί, cuyo conjugado es z = x - y ί. El resultado de la inversión es entonces el punto que representa al número complejo z' = 1/z. Como vemos, el caso de los números reales es solo un caso particular de este, pues el conjugado de un número complejo sin parte imaginaria es él mismo.
La construcción geométrica de la inversión es sencilla. Sea r la recta (azul) que une A con el origen de coordenadas. Queremos construir el inverso de A, que llamaremos A'.
- Si A es exterior al círculo unidad, trazamos la semicircunferencia de extremos el origen y A, que cortará a la circunferencia unidad en un punto. La perpendicular a r por ese punto corta a r en A'.
- Si A es interior al círculo unidad, trazamos la perpendicular a r por A, que cortará a la circunferencia unidad en dos puntos. La recta tangente a la circunferencia unidad por cualquiera de esos puntos corta a r en A'.
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.