Produto misto
Produto Vetorial
Dada uma orientação do espaço de vetores , pela base ortonormal , definimos o produto vetorial dos vetores ,, que denotamos pelo vetor da seguinte forma:
- Se os vetores e são linearmente dependentes, então definimos
- Se os vetores e são linearmente independentes, então o vetor tem as seguintes características:
- A norma do vetor é igual a área do paralelogramo formado pelos vetores e .
- O vetor é ortogonal aos vetores e
- O conjunto de vetores é uma base para o espaço de vetores .
Produto Misto
Consideramos uma orientação do espaço de vetores dada pela base ortonormal , definimos o produto misto dos vetores , e , que denotamos pelo vetor da seguinte forma:
.
Problema
Calcule o volume do paralelepípedo formado pelos vetores , e
Procedimento
Pela definição de produto vetorial sabemos que a norma do vetor é definida da seguinte forma
onde é a medida do ângulo entre os vetores e . Logo, a área do paralelogramo de base e altura está dada por . A altuda do paralelepípedo é igual a norma da projeção do vetor sobre a direção do vetor . Assim,Solução
A solução é única. Inclusive se consideramos como base do paralelepípedo outro paralelogramo definido por vetores diferentes do par .