a + b + c < 360°
Soit un triangle sphérique . Par définition, on sait que ses côtés sont compris dans l'intervalle . Bêtement, l'on trouve que la somme de ses côtés se trouve dans l'intervalle
Mais l'on peut faire mieux.
En passant par un tétraèdre
Les trois sommets , et avec le centre de la sphère forment un tétraèdre (voir l'appliquette ci-dessous). Puisque les côtés du triangle sphérique sont de même mesure que les angles correspondant au centre de la sphère, les côtés du triangle sphérique sont de même mesure que les trois angles au sommet du tétraèdre.
Comme on le voit sur l'appliquette ci-dessous, si l'on écrase le point sur le plan et que l'on regarde ce plan de haut, on constate que :
Or, à mesure que s'élève le point au-dessus du plan, les angles , et deviennent de plus en plus petits. On a donc, pour tout tétraèdre, que
Puisque les mesures de ces angles correspondent aux longueurs des côtés de notre triangle sphérique, on conclut que
C'est donc dire qu'on ne peut recouvrir un grand cercle en mettant bout à bout les trois côtés d'un triangle sphérique (les trois côtés ensemble ne complètent jamais un grand cercle).
Par contre, comme le montre l'appliquette ci-dessous, on peut construire un triangle sphérique dont la somme des côtés s'approche aussi près que l'on veut de . Pour ce faire, il suffit d'éloigner l'un des sommets d'un triangle sphérique des deux autres sommets en le faisant s'approcher de plus en plus du grand cercle passant par ces deux autres sommets. On construira un triangle sphérique dont la somme des côtés s'approchera de plus en plus de , car le triangle sphérique s'approchera de plus en plus d'un grand cercle.