Lugar geométrico. Helicoide. Superficie de Dini a partir de una tractriz
Superficie de Dini generada como Helicoide
Helicoides
Para construir un helicoide a partir de una curva plana, el proceso es similar a la creación de una superficie de revolución, con la diferencia de que a la vez que giramos, hacemos una traslación en la dirección del eje de giro.
En particular, la forma del helicoide dependerá también del paso (separación) que elijamos entre cada vuelta.
Para una curva definida en ecuaciones paramétricas como
El helicoide correspondiente, con eje el eje Z y paso p entre vuelta y vuelta (que, por comodidad, reescribiremos como p=2πb), vendrá dado por
Para dar un número k de vueltas, haremos variar u entre 0 y 2kπ.
(*) Si el paso p es nulo, obtenemos la correspondiente superficie de revolución.
Superficie de Dini
Esta superficie es el helicoide obtenido a partir de la curva tractriz, que es la trayectoria descrita por un objeto arrastrado por otro que se encuentra a distancia d de él.
En ecuaciones paramétricas, podemos expresar esta curva como
En particular, las ecuaciones de la supercifie de Dini serán:
(*) Para generar una rama de la tractriz, el parámetro t valora entre 0 y π/2≈1.57, que es donde x(t) es creciente. Entre π/2 y π, x(t) es decreciente.
(*) La superficie de revolución correspondiente a la tractriz es la seudoesfera.
En el applet, podemos utilizar los puntos azules para elegir el punto máximo al que llega la tractriz y el paso entre una vuelta y otra.
Ejemplo
Define tu propia superficie helicoidal
Con esta actividad puedes definir tu propia superficie helicoidal, a partir de las ecuaciones paramétricas de una curva.
Por ejemplo, con media circunferencia tenemos un tobogán (recuerda que la ecuación paramétrica de una circunferencia es (cos(t), sen(t)). En este caso, hemos elegido -sen(t) para crear solo la parte inferior.
Prueba con diferentes tipos de curva para crear la tuya propia.