Teaching the Kepler laws for freshmen, van Haandel, Heckman
Dal disegno originale alle caratteristiche del moto in altri punti
Maris van Haandel, Gert Heckman, Teaching the Kepler laws for freshmen, February 11, 2013
https://arxiv.org/pdf/0707.4605.pdf
Immagine originale
Nel seguto della trattazione considereremo die corpi di massa m1 ed m2, la massa ridotta
µ=m1 m2/(m1+m2). La costante di accoppiamento è k=Gm1m2 .
Per un campo di forza centrale F(r) = f(r)r/r il vettore del momento angolare L = r×p è conservato per la legge del moto di Newton F = p'̇, portando così alla seconda legge di Keplero. Per un campo di forza centrale sfericamente simmetrico F(r)= f(r)r/r l'energia H = p2/2µ + V (r) , V (r)=− è anche conservata.
Ora si consideri il problema di Keplero f(r) =µ r"=−k/r2 e V (r)=−k/r con k > 0costante di accoppiamento. Per una data energia H < 0 il moto è limitato all'interno di una sfera con centro 0 e raggio −k/H.
Considera l'immagine del piano perpendicolare a L =r×p qui sopra disegnata.
Il cerchio C con centro 0 e raggio −k/H è il confine di un disco in cui avviene il movimento con energia H < 0.
Sia s = −kr/rH la proiezione di r dal centro 0 su questo cerchio C. La linea L per r con vettore di direzione p è la linea tangente all'orbita E nella posizione r con velocità v.
Sia t il simmetrico del punto s rispetto alla linea L.
Teorema. Il punto individuato da t è costante ed è uguale a K/µH con K=pxL-kµr/r (vettore di Lenz) Corollario. L'orbita E è un'ellisse con fuochi 0 e t, e asse lungo uguale a 2 a = −k/H
Procediamo a derivare la terza legge di Keplero con una trattazione standard.
L'ellisse E ha parametri numerici [1] a,b,c > 0 con
2a =−k/H, 2b = ( 2L2/(µH)) e c2 = a2 - b2 .
L'area della regione delimitata da E è uguale a πab = LT/(2µ) con T il periodo dell'orbita.
Infatti L/2m è l'area del settore spazzata dal vettore di posizione r per unità di tempo.
Un calcolo semplice dà T2/a3 = 4π2 µ/k = 4π2 /G(m1 +m2)
Quindi, poiché la legge di gravitazione di Newton afferma che la costante di accoppiamento k è proporzionale al prodotto della massa m2 del pianeta e della massa m1 del Sole, troviamo la terza legge di Keplero che afferma che T2/a3 è lo stesso per tutti i pianeti [2].
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[1] L'asse maggiore è uguale a 2a, l'asse minore 2b e a2 = b2 + c2.
[2] La massa µ che abbiamo usato finora è infatti uguale alla massa ridotta µ=m1 m2/(m1+m2) e questa equivale quasi a m2 se m2 ≪ m1.
Il problema di Keplero
Il tema va accompagnato dalla classica soluzione del problema delle orbite in https://www.geogebra.org/m/rAuvT3Pk
E Gert Heckman, ON THE SHOULDERS OF GIANTS - the mechanics of Isaac Newton, in
https://www.math.ru.nl/~heckman/Newton%20Two%20Bodies%20book.pdf#page=50