Una breve introducción a la teoría de retículos

¿Se puede observar algún patrón en estas imágenes? ¿Hay elementos comunes? ¿Y si dijera que tienen relación con la criptografía post-cuántica? Pero, ¿Qué es la criptografía post-cuántica?

La amenaza de la computación cuántica ya está aquí. Los ordenadores cuánticos representan una evolución revolucionaria en el campo de la computación. A diferencia de los ordenadores clásicos, que utilizan bits convencionales para almacenar y procesar información en forma de 0 y 1, los ordenadores cuánticos aprovechan los principios de la mecánica cuántica para representar y manipular datos en forma de qubits. Estos qubits pueden existir en múltiples estados simultáneamente gracias al fenómeno de superposición, lo que permite a los ordenadores cuánticos procesar y analizar enormes cantidades de información de manera exponencialmente más rápida que los sistemas tradicionales. Sin embargo, también plantea desafíos importantes en términos de seguridad informática, ya que los algoritmos de cifrado actuales podrían volverse vulnerables ante la capacidad de los ordenadores cuánticos para realizar operaciones de factorización y búsqueda más rápidas. La criptografía post-cuántica es una rama de la seguridad informática completamente novedosa que aborda la creciente preocupación sobre la vulnerabilidad de los sistemas de cifrado actuales frente a los futuros avances en la computación cuántica. Para abordar esta preocupación, el Instituto Nacional de Estándares y Tecnología (NIST) de los Estados Unidos ha liderado un proceso de evaluación y estandarización de algoritmos de criptografía post-cuántica. Este proceso implica la identificación, evaluación y selección de nuevos algoritmos que sean resistentes a los ataques cuánticos, con el objetivo de establecer normas robustas para la seguridad de la información en el futuro. En el 2022, dos esquemas tanto de cifrado como de firma se estandarizaron, CRYSTALS-Kyber y CRYSTALS-Dilithium, ambos basados en la teoría de retículos.

A la definición formal de retículo, no se le debe hacer demasiado caso, pues esta aportación es meramente simbólica. No obstante, lo que debe quedar claro, es que un retículo es un conjunto (la mayoría de veces infinito), el cuál está compuesto por la combinación de sumas de vectores, pero ¿Cómo se construye un retículo?

Por otro lado, si se consideran los vectores , por ejemplo: Al fin y al cabo, es claro que para construir un retículo, basta con saber sumar y multiplicar los vectores que tengan por números enteros.

¿Sabías que el único retículo que no tiene infinitos elementos es el retículo ? Es decir, el único retículo que no tiene infinitos elementos, y que además, solo tiene un elemento, es aquel cuyo vector es el vector 0. ¿Tiene sentido? Supongamos que se tienen dos vectores, si estos son iguales a cero y se hacen las combinaciones enteras nos queda únicamente el cero, porque En cambio, si se tiene un vector distinto de cero, como por ejemplo, , como se tiene que hay infinitos números enteros, si se combinan, se obtienen infinitos puntos del retículo.

En los ejemplos que se han presentado, todos los productos escalares de los vectores han sido cero, pues y . En este caso, el producto escalar es igual a cero, pues . Cuando esto ocurre, se dice que los vectores son ortogonales. Ahora bien, se puede plantear la idea de construir retículos no ortogonales, o lo que es lo mismo, que sus vectores no sean perpendiculares.

En este ejemplo podemos apreciar que los vectores AB y AC no son perpendiculares, o como lo hemos mencionado anteriormente, no son ortogonales. Si se arrastran los puntos A, B y C, se puede apreciar como varía el retículo formado.

Aunque parezca que siempre se trazan y se esbozan funciones en un plano, con un eje de referencia OX y OY, en realidad solo se trata de un eje de referencia cartesiano, y hay más ejes de referencia. Un eje de referencia, es el sistema de referencia afín. Este consiste en, teniendo 3 puntos no alineados, A, B y C, se consideran los vectores AB y BC. En este caso, cuando tengamos los 'números' sobre el eje para poder contar, no iremos de uno en uno, sino dando saltos de longitud y .

Las matemáticas están compuestas de diferentes áreas de estudio:

• Álgebra (matrices, ecuaciones, determinantes,...)
• Análisis (funciones, integrales, derivadas,...)
• Estadística (poblaciones, frecuencias, probabilidades,...)
• Geometría y topología



La diferencia entre la geometría y la topología es que la primera estudia las propiedades cuantitativas de los objetos geométricos (calcular áreas, perímetros, etc.), mientras que la topología estudia las propiedades cualitativas. Por ejemplo, para una persona que estudia la topología, ¡Un donut y una taza son prácticamente idénticos! Dentro de la topología, se dedica tiempo y esfuerzo a medir y estudiar distancias (entre otras cosas). Hasta ahora, solo hemos conocido la distancia euclídea, que es la usual y la del día a día, la que utilizamos con la regla de nuestro estuche. No obstante, hay una distancia que es la distancia taxi (o distancia Manhattan).

En la distancia taxi no podemos movernos de un punto a otro en línea recta (al no ser que esté justo al lado), sino que tenemos que hacerlo como si nos moviésemos en una cuadrícula, como por una ciudad. Obviamente, esta denominación de la distancia taxi viene de como se mueven los taxis por la metrópoli, rodeando edificios a través de largas calles. ¿No recuerdan estas ciudades a las estructuras reticulares? Veamos una imagen de Barcelona:

Para finalizar esta actividad, se debe destacar que se ha introducido un nuevo concepto, el de retículo, cimiento de la novedosa criptografía post-cuántica. Se han establecido conexiones desde los retículos con diferentes conceptos, como la ortogonalidad, las referencias afines y la distancia taxi. Además, se ha acercado al alumno este interesante objeto matemático, mostrando que está en la naturaleza, intentando que tome perspectiva de las matemáticas y que esta está más presente de lo que se cree.