Desplazamiento y escalado de funciones
El desplazamiento y el escalado de funciones son dos transformaciones importantes que nos permiten alterar la gráfica de una función moviéndola y/o redimensionándola.
Los desplazamientos y escalados se pueden aplicar a funciones, pero también a imágenes. De hecho, este tipo de transformaciones son esenciales en el tratamiento de imágenes. Aunque en este recurso se van a explicar los aspectos de la transformación de funciones, una forma muy gráfica de entender los conceptos es usando imágenes, como se verá en los ejemplos siguientes.
Escalado
El escalado de una función consiste en comprimir o estirar la gráfica de la función. Este escalado puede ser horizontal, si se comprime o estira la función en la dirección horizontal, o vertical, si lo hace en la dirección vertical.
En el escalado horizontal se estira o comprime la función en la dirección horizontal. Esto se consigue multiplicando la variable x por una constante c. Dependiendo del valor de c se pueden producir las siguientes situaciones:
si |c|>1 entonces la función se comprime horizontalmente, es decir se hace más estrecha.
si 0<|c|<1 entonces la función se estira horizontalmente, es decir, se hace más ancha.
si c<0 entonces la función se refleja respecto el eje y.
En caso de no tener una función sino puntos de una imagen, el proceso para escalar consiste en estirar o comprimir los valores de la variable x un valor c.
En la siguiente hoja dinámica se puede ver el efecto de escalar horizontalmente una imagen una cantidad c, que se puede cambiar con un deslizador. Notar el efecto que tiene mover el deslizador sobre la coordenada x del punto que corresponde al extremo inferior de la imagen. Además, en caso de que c sea negativo se produce una reflexión respecto el eje y.
Actividad 1: Suponer que se desea duplicar el ancho de la imagen mediante un escalado horizontal ¿Cuál es el valor de c que se necesita usar?
En el escalado vertical se estira o comprime la gráfica en la dirección vertical. Esto se consigue multiplicando la variable y por una constante c, cf(x). Dependiendo del valor de c se pueden producir las siguientes situaciones:
si |c|>1 entonces la función se estira verticalmente, es decir se hace más alta.
si 0<|c|<1 entonces la función se comprime verticalmente, es decir, se hace más baja.
si c<0 entonces además de estirar o comprimir, la función se refleja respecto el eje x.
En la siguiente hoja dinámica se puede ver el efecto de escalar verticalmente una imagen una cantidad c. Notar el efecto sobre las dimensiones de la imagen, y que cuando c es negativo la imagen aparece reflejada respecto al eje x.
Actividad 2: Suponer que se desea reducir a la mitad el alto de la imagen mediante un escalado vertical ¿Cuál es el valor de c que se necesita usar?
Desplazamiento
El desplazamiento de una función consiste en mover la gráfica de la función. El desplazamiento puede ser horizontal, si la función se mueve a la izquierda o la derecha, o vertical, si se mueve arriba o abajo.
En el desplazamiento horizontal se desplaza la la función horizontalmente. Esto se consigue restando a la variable x una constante a, f(x-a). Dependiendo del valor de a se pueden producir las siguientes situaciones:
Si a > 0 entonces la función se desplaza a la derecha a unidades.
Si a < 0 entonces la función se desplaza a la izquierda a unidades.
En el desplazamiento vertical se desplaza la la función verticalmente. Esto se consigue sumando a la función f(x) una constante b, f(x)+b. Dependiendo del valor de b se pueden producir las siguientes situaciones:
Si b > 0 entonces la función se desplaza hacia arriba b unidades.
Si b < 0 entonces la función se desplaza hacia abajo b unidades.
Notar que los signos en los desplazamientos desplazan la función en la dirección positiva del eje si son mayores que 0, mientras que lo hacen en la dirección negativa del eje en caso de ser negativos.
En la siguiente hoja dinámica se puede ver el efecto de realizar un desplazamiento horizontal, controlado por el deslizador a, y el de realizar un desplazamiento vertical, controlado por el deslizador b. Notar que cuando a=b=0 la imagen está en su posición original, con su extremo inferior izquierdo en (1,1)
Actividad 3: Utilizar los deslizadores para desplazar la imagen 2 posiciones a la izquierda y 2 posiciones hacia abajo ¿Cuales son los valores de a y b?
Actividad 4: Suponer que se efectuara un desplazamiento vertical de la imagen con b=3 y uno horizontal con a=-5. ¿Cual sería la posición del punto inferior izquierdo de la imagen?
En la siguiente hoja dinámica se pueden ver todas las transformaciones aplicadas sobre la imagen. Los deslizadores a y b representan desplazamientos horizontales y verticales respectivamente, mientras que c y d respresentan escalados horizontales y verticales respectivamente.
Estas transformaciones también pueden aplicarse a funciones. Como algunas transformaciones son más evidentes según el tipo de función, en la siguiente hoja dinámica se pueden ver todas las transformaciones aplicadas a dos funciones diferentes, que se pueden cambiar moviendo el deslizador llamado función.
Para la hoja dinámica anterior:
Actividad 5: ¿Qué deslizador controla el escalado horizontal?
Actividad 6: ¿Qué deslizador controla el escalado vertical?
Actividad 7: ¿Qué deslizador controla el desplazamiento horizontal?
En la imagen siguiente se puede ver el efecto sobre la ecuación de una parábola de hacer un desplazamiento hacia la derecha de 2 unidades y un desplazamiento hacia arriba de 3 unidades.
Actividad 8: ¿Cuál sería la ecuación de la parábola y=x2 desplazada 3 unidades a la izquierda y una unidad hacia abajo?