Multiplicação por escalar e adição de vetores

O objetivo desta atividade é ampliar a compreensão sobre as duas operações utilizadas para caracterizar um espaço vetorial: multiplicação por escalar e adição de vetores. Usaremos aqui o termo escalar como sinônimo de número real. Os escalares serão representados por letras gregas como α e β. Já os vetores são entes matemáticos providos de módulo, direção e sentido e serão representados aqui por letras minúsculas do alfabeto latino como u, v e w. Quando no corpo do texto, o nome dos vetores aparecerá em negrito. Um conjunto de vetores V é dito um espaço vetorial quando nele estão definidas as duas operações citadas acima e quando são válidas as oito propriedades listadas abaixo para quaisquer escalares α e β e quaisquer vetores u, v e w de V: A1. v + u = u + v (comutatividade) A2. (u + v)+ w = u + (v + w) (associatividade) A3. Existe o em V tal que u + o = u para todo u em V (existência do elemento neutro) A4. Para todo u em V existe -u em V tal que -u + u = o (existência do vetor oposto) M1. (αβ)u = α(βu) M2. 1u = u (unidade como elemento neutro) D1. α(u + v) = αu + αv (distributiva da multiplicação em relação a adição de vetores) D2. (α+β)u = αu + βu (distributiva da multiplicação em relação a adição de escalares)

Um vetor é representado geometricamente por meio de uma seta, mas, algebricamente, um vetor é representado por meio de suas coordenadas, que são um par ordenado de números reais, caso seja um vetor do plano, ou uma terna ordenada, caso seja um vetor do espaço.

Na Construção 3 você pode modificar a aparência (módulo, direção e sentido) do vetor u manipulando-o a partir de sua extremidade. Contudo, o vetor v está definido de modo que v = αu. Assim, embora possa ser movido para qualquer posição do plano, sua aparência depende do vetor u e do valor do escalar α. Nessa construção você pode observar também os valores das coordenadas dos vetores u e v, bem como os módulos, isto é, o comprimento destes vetores, representados por |u| e |v|.

Um vetor pode ser encarado como um transportador de pontos. Na Construção 4, temos um representante do vetor v com origem em P. Para mover o ponto P para qualquer posição que você deseje, modifique o vetor v arrastando sua extremidade para onde você deseja que o ponto P vá e depois clique no vetor v e veja o ponto P se movendo até lá.

Na Construção 5, clicando sobre um dos vetores que aparecem do lado direito, você pode transportar o ponto P da posição em que estiver por uma distância correspondente ao módulo do vetor na direção e no sentido do mesmo. Você deve levar o ponto P até o ponto vermelho clicando uma única vez em cada um dos vetores. Será que a ordem dos cliques faz diferença? Conseguindo ou não cumprir a tarefa na primeira tentativa, clique no ícone de reiniciar a construção no canto superior direito e veja se consegue levar o ponto P até o ponto vermelho de uma forma diferente.

O resultado da experiência realizada na construção acima é uma consequência das propriedades da adição de vetores que serão trabalhadas a seguir.

Assim como a multiplicação por escalar, a adição de vetores é uma operação envolvendo vetores que resultará no surgimento de um novo vetor. Nas próximas atividades, veremos como são definidos o módulo, a direção e o sentido do vetor soma s a partir destas mesmas características dos vetores u e v.