5.2 Como calcular distância entre dois planos ou um plano e uma reta
Introdução
Primeiro será ensinado como calcular a distância entre dois planos, porque a estratégia usada no segundo caso(entre um plano e uma reta) é bem semelhante.
Para isso é preciso lembrar que existem 3 casos possíveis quando dois planos são envolvidos. Embora sejam 3 casos, você já sabe calcular a distância em todos eles. Os casos são:
1ºcaso- Planos Coincidentes
2ºcaso- Planos Coincidentes
3ºcaso- Planos Paralelos
É bom lembrar também que o plano muitas vezes é denotado com letras gregas como ou , e que existem as seguintes denotações:
D(,) que é distância do plano ao plano .
D(,r) que é distância do plano à reta r.
D(,P) que é distância do plano ao ponto P.
1º caso- Planos Coincidentes
Nesse caso, os planos estão sobrepostos, ou seja, representam o mesmo plano e por isso a distância entre eles é zero.
Para analisar dois planos não basta comparar somente o os vetores normais, porque se eles forem paralelos por exemplo, o vetor normal será o mesmo. Sendo assim, é preciso comparar a equação do plano de ambos e ver se são equivalente. Por exemplo:
plano : x-2y+z-3=0
plano : 2x-4y+2z-6=0
Como o plano é múltiplo do plano , quer dizer que eles são equivalentes, e assim, coincidentes.
Outra maneira de verificar é a seguinte: ver se não possuem algum ponto em comum.
2° caso - Planos Concorrentes
Nesse caso, os planos se intersectam, logo a distância entre eles é 0 também. Vale lembrar que se na interseção entre duas retas o resultado era um ponto, a interseção entre dois planos resulta uma reta, como demonstrado na imagem a seguir. Como o foco desse book é o cálculo de distâncias, não iremos deduzir como fazer isso agora, mas saiba que é possível e que pode ser cobrado nas avaliações.
Para saber se dois planos são concorrentes ou não basta ver o vetor normal deles. Caso sejam diferentes(ou melhor dizendo, não múltiplos), quer dizer que os planos são concorrentes.
3° caso- Planos Paralelos
Esse caso é o único que a distância não é zero, e é necessário realizar contas para acha-la. Porém, já se sabe como fazer isso. Isso porque a distância entre dois planos é sempre a mesma, ou seja constante, e por isso você transforma o problema que era distância entre dois planos em um problema que é distância entre um plano e um ponto(sendo esse ponto pertencente à um dos planos), e isso já se sabe como resolver pela seção anterior.
Para saber se dois planos são paralelos basta analisar o vetor normal de ambos. Caso o vetor normal seja o mesmo(ou múltiplos) eles podem ser paralelos ou coincidentes. Para saber qual é caso basta ver se eles não possuem algum ponto em comum. Caso possuam um ponto diferente eles serão paralelos.
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Distância entre um plano e uma reta
O estudo desse caso é bem similar ao anterior: há três casos possíveis, dois onde a distância é zero e um que será necessário calcula-la.
1º caso - Reta contida no Plano
Nesse caso, como sugerido no título, pertence ao plano, e nesse caso a distância é zero.
Para descobrir se a reta está contida há uma estratégia: ver se o produto escalar do vetor diretor da reta com o vetor normal do plano dá zero. Caso isso aconteça, significa que a reta é OU é paralela ao plano OU está contida no plano. O que diferencia os dois casos são os pontos em comum, se um ponto qualquer da reta pertencer ao plano, ela está contida, caso o o ponto analisado nao seja comum a reta é paralela ao plano.
2º caso- Plano e Reta concorrentes
Nesse caso, há interseção em um ponto dos dois elementos e por tanto a distância é zero.
A melhor estratégia para ver se um plano e uma reta são concorrentes é simples: ver se o produto escalar do vetor diretor da reta com o vetor normal do plano dá diferente de zero. Se o produto escalar for diferente de zero quer dizer que eles não são paralelos, logo, se tocam em algum ponto.
3º caso - Plano e Reta paralelos
Nesse caso a distância é a mesma pra qualquer ponto e é o único dos três no qual é necessário calcular a distância.
Para descobrir se a reta é paralela ao plano há uma estratégia: ver se o produto escalar do vetor diretor da reta com o vetor normal do plano dá zero. Caso isso aconteça, significa que a reta é OU é paralela ao plano OU está contida no plano. O que diferencia os dois casos são os pontos em comum, se um ponto qualquer da reta pertencer ao plano, ela está contida, caso o o ponto analisado não seja comum a reta é paralela ao plano.