１＋ｘ^2＋ｘ^3＋・・・＝？
Ｓｅｑｕｅｎｃｅを使うと級数が簡単に表すことができます。さて、数学の特徴は拡張することにあります。この関数を無限級数として表現するとどんなことがわかってくるのでしょうか。
Ｓ＝１＋ｘ＋ｘ2＋ｘ3＋・・・①
Ｓを求める公式を作ってみる。まず①をｘ倍すると、
ｘＳ＝ｘ＋ｘ2＋ｘ3＋・・・②
①－②
（１－ｘ）Ｓ＝１
Ｓ＝
これを応用してみたくなる。
例えば、ｘ＝を代入してみる。
１＋＋＋＋・・・＝２と求まる。
ではｘ＝ー１を代入すると
Ｓ＝－１＋１－１＋１・・・＝となる。
この意味を考えた人がいて、財産を兄弟が互いに半年ずつ持っているとすると、財産は行ったり来たりしているので結局半分となると考えるというのだ。
とりあえず、上の方法で新しい級数を求めてみる。
Ｓ＝１＋２ｘ＋３ｘ2＋４ｘ3＋・・・③
ｘＳ＝ｘ＋２ｘ2＋３ｘ3＋４ｘ4＋・・・④
③－④＝１＋ｘ＋ｘ2＋ｘ3＋・・・=
（１－ｘ）Ｓ＝
Ｓ＝と簡単に求めることができる。
この式にｘ＝－１を代入してみると、
Ｓ＝１－２＋３－４＋・・・＝
Ａ＝１＋２＋３＋４＋・・・⑤
４A＝４＋８＋１２＋・・・⑥
⑤－⑥＝－３Ａ＝１－２＋３－４＋５－６＋・・・＝
Ａ＝１＋２＋３＋４＋・・・＝－
ここから解析接続へと発想が進む。