Дополнительные задачи

Вопросы для повторения к главе II 1. Объясните, какая фигура называется треугольником. Начертите треугольник и покажите его стороны, вершины и углы. Что такое периметр треугольника? 2. Какие треугольники называются равными? 3. Что такое теорема и доказательство теоремы? 4. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак равенства треугольников. 5. Объясните, какой отрезок называется перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной прямой. 6. Сформулируйте и докажите теорему о перпендикуляре, проведенном из данной точки к данной прямой. 7. Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько медиан имеет треугольник? 8. Какой отрезок называется биссектрисой треугольника? Сколько биссектрис имеет треугольник? 9. Какой отрезок называется высотой треугольника? Сколько высот имеет треугольник? 10. Какой треугольник называется равнобедренным? Как называются его стороны? 11. Какой треугольник называется равносторонним? 12. Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника равны. 13. Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника. 14. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй признак равенства треугольников. 15. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий признак равенства треугольников. 16. Что такое определение? Дайте определение окружности. Что такое центр, радиус, хорда и диаметр окружности? 17. Объясните, как отложить на данном луче от его начала отрезок, равный данному. 18. Объясните, как отложить от данного луча угол, равный данному. 19. Объясните, как построить биссектрису данного угла. 20. Объясните, как построить прямую, проходящую через данную точку, лежащую на данной прямой, и перпендикулярную к этой прямой. 21. Объясните, как построить середину данного отрезка.

Дополнительные задачи 156. Периметр треугольника АВС равен 15 см. Сторона ВС больше стороны АВ на 2 см, а сторона АВ меньше стороны АС на 1 см. Найдите стороны треугольника. 157. В равнобедренном треугольнике основание больше боковой стороны на 2 см, но меньше суммы боковых сторон на 3 см. Найдите стороны треугольника. 158. Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Медиана, проведенная к боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр одного треугольника на 2 см больше периметра другого. Найдите боковую сторону данного треугольника. 159. Докажите, что два равнобедренных треугольника равны, если боковая сторона и угол, противолежащий основанию, одного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу, противолежащему основанию, другого треугольника. 160. Прямая а проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к нему. Докажите, что: а) каждая точка прямой а равноудалена от точек А и В; б) каждая точка, равноудаленная от точек А и В, лежит на прямой а. 161. В треугольниках АВС и медианы АМ и равны, ВС= и . Докажите, что . 162. На рисунке ниже треугольник ADE равнобедренный, DE — основание. Докажите, что: а) если ВD=СЕ, то и АВ=АС; 6) если , то BD=CE и АВ=АС.

163. Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника. 164. На сторонах равностороннего треугольника АВС отложены равные отрезки AD, ВЕ и СЕ, как показано на рисунке ниже. Точки D, Е, F соединены отрезками. Докажите, что треугольник DEF — равносторонний.

165. Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине О. На отрезках АС и ВD отмечены точки К и так, что АК = . Докажите, что: а) ОК =; б) точка О лежит на прямой . 166. Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине О. Точки М и N — середины отрезков АС и ВD. Докажите, что точка О — середина отрезка МN. 167. Стороны равностороннего треугольника АВС продолжены, как показано на рисунке ниже, на равные отрезки АD, СЕ, ВF. Докажите, что треугольник DEF — равносторонний. 168. В треугольнике АВС , , . На стороне АС отмечены точки D и Е так, что точка D лежит на отрезке АЕ, BD=DA, ВЕ=ЕС. Найдите угол DBE. 169. На рисунке ниже ОС=ОD, ОВ=ОЕ. Докажите, что АВ= ЕF. Объясните способ измерения ширины озера (отрезка АВ на рисунке ниже), основанный на этой задаче. 170. Докажите, что треугольники АВС и равны, если АВ=, , AD=, где AD и — биссектрисы треугольников. 171. В треугольниках АВС и АDС стороны ВС и АD равны и пересекаются в точке О, . Докажите, что треугольники АВО и СDО равны. 172. На рисунке ниже АС=АD, . Докажите, что ВС=ВD и . 173*. Докажите, что угол, смежный с углом треугольника, больше каждого из двух других углов треугольника. 174*. Докажите, что , если , , . 175*. На сторонах угла XOY отмечены точки А, В, С, D так, что ОА=ОВ, АС=ВD (см. рисунок ниже). Прямые АD и ВС пересекаются в точке Е. Докажите, что луч ОЕ — биссектриса угла XOY. Опишите способ построения биссектрисы угла, основанный на этом факте. 176* Докажите, что треугольники АВС и равны, если АВ=, AC=, АМ=, где АМ и — медианы треугольников. 177* Даны два треугольника: АВС и . Известно, что АВ=, АС=, . На сторонах АС и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки К и L, а на сторонах и треугольника — точки и так, что AK=, LC=. Докажите, что: а) KL=; б) AL=. 178*. Даны три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, и точка D, не лежащая на этой прямой. Докажите, что по крайней мере два из трех отрезков АD, ВD и СD не равны друг другу. 179*. На боковых сторонах АВ и АС равнобедренного треугольника АВС отмечены точки Р и Q так, что , где Х — середина основания ВС. Докажите, что ВQ=СР. 180. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через данную точку, с центром на данной прямой. 181. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки. 182. Даны прямая а, точки А, В и отрезок РQ. Постройте треугольник АВС так, чтобы вершина С лежала на прямой а и АС=РQ. 183. Даны окружность, точки А, В и отрезок РQ. Постройте треугольник АВС так, чтобы вершина С лежала на данной окружности и АС=РQ. 184. На стороне ВС треугольника АВС постройте точку, равноудаленную от вершин А и С. 185. С помощью циркуля и линейки разделите данный отрезок на четыре равные части.